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Interpolation Algorithm of Parallel Connected
Machine Tool Based on Stewart Mechanism

Zhang Junliang Zhang Jianmin Hao Juan Jiang Ming Wang Xinyi
(School of Mechanical Engineering and Automation, Beijing Institute of Technology, Beijing　100081)

Abstract　Aim　To research the interpolation algorithm of parallel connected machine tool based on stewart mechanism.Methods The common idea of time-discrete interpolation algorithm and the inverse kinematics model of parallel connected machine tool were used to evaluate the relation between tool motion path and six telescopic legs and to derive one kind of interpolation algorithm.Object oriented program design method was adopted to work out the simulation software and the availability of the interpolation algorithm was testified by computer simulation.Results and Conclusion Simulation results of machining process of sphere parts and one-sheet-hyperboloid parts show that the interpolation algorithm proposed is correct and practical, providing a new and feasible interpolation algorithm for parallel connected machine tool.
Key words　stewart mechanism; parallel connected machine tool; inverse kinematics; interpolation algorithm; path planning

基于Stewart機構(gòu)的并聯(lián)加工機是一種新穎的、具有廣闊前景的機床。與普通數(shù)控機床相比具有幾個顯著的特點：切削力由6根軸承擔(dān)，且僅受拉力或壓力，因而機床變形小，承載能力強；機構(gòu)剛度好，運動部件的重量輕，故慣性小，可以進行較高的加減速運動；沒有導(dǎo)軌，可以排除通常的幾何誤差及磨損等對精度的影響，因此可獲得很高的加工精度。
由于求解Stewart機構(gòu)的逆運動學(xué)^［1，2］(根據(jù)末端工具的位置和姿態(tài)，求解各個關(guān)節(jié)變量的值)較簡單，且符合機構(gòu)位置控制思想。故可利用該特點建造并聯(lián)加工機的逆運動學(xué)模型。

1　并聯(lián)加工機逆運動學(xué)

并聯(lián)加工機的逆運動學(xué)由兩部分組成，即Stewart并聯(lián)機構(gòu)的逆運動學(xué)和刀具位姿與并聯(lián)機構(gòu)動平臺位姿之間的關(guān)系。

Stewart機構(gòu)簡圖如圖1所示。設(shè)動平臺中心O′和動平臺的球鉸中心P_i點在固定坐標系中的坐標為(x_O,y_O,z_O)^T,(x_i,y_i,z_i)^T，而P_i點在動坐標系中的坐標為(x_Pi,y_Pi,z_Pi)，定平臺的球鉸中心b_i在固定坐標系中的坐標為(d_i,e_i,f_i)(i=1,2,…,6)，則下式成立：

［x_i y_i z_i］^T=T［x_Pi y_Pi z_Pi］^T+［x_O y_O z_O］^T，　　　　　　　　　　(1)

圖1　Stewart機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖

式中　T是用歐拉角α，β，γ表示的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，

(2)

由兩點間的距離公式得出

設(shè)在與動平臺固聯(lián)的動坐標系中，刀具刀尖點P_t的相對坐標為(x_Pt,y_Pt,z_Pt)=(0,0,-l_t),l_t為刀尖至O′的距離。則

［x_O y_O z_O］^T=T［x_t y_t z_t］^T+［T₁₃ T₂₃ T₃₃］^Tl_t�！　　　　　　　�(4)

設(shè)刀具軸線的單位矢量為n_x,n_y,n_z,刀具與固定坐標系坐標軸的方向余弦角為θ_x,θ_y,θ_z。
因為旋轉(zhuǎn)矩陣式(2)的最后一列正好是動坐標系z軸的單位矢量，所以也與刀具軸線的單位矢量相重合。

α=±arcsin(cosθ_x/sinθ_z), β=±θ_z�！　　　　　　　　　　　�(5)

當(dāng)n_y≥0時，式(5)取負號；當(dāng)n_y＜0時，式(5)取正號。當(dāng)歐拉角γ=-α時，動平臺不繞剛體坐標系z軸轉(zhuǎn)動，這樣既減少了運算量，又在很大程度上避免6根伸縮桿之間的干涉。

2　基于并聯(lián)加工機逆運動學(xué)的時間分割插補算法

時間分割法即數(shù)據(jù)采樣插補法^［3］，是把加工一段直線或圓孤的整段時間細分為許多相等的時間間隔，稱為單位時間間隔(或插補周期)。每經(jīng)過1個單位時間間隔進行1次插補計算，算出在這一時間間隔內(nèi)各坐標軸的進給量，邊計算邊加工，直到加工終點。此算法的核心是求刀具運動軌跡與6根伸縮桿之間的幾何關(guān)系。

2.1　直線插補算法

選定CNC的插補周期及確定進給速度之后，輪廓步長f就隨之確定。因此，只要求出各插補周期末刀具的位置和姿態(tài)即可用逆運動學(xué)公式求出6根桿的伸縮增量，直線插補示意圖示于圖2。

圖2　直線插補示意圖

設(shè)直線與z軸的夾角為γ，其投影與x軸的夾角為α，則輪廓步長f()在3個坐標軸上的投影為fsinγcosα，fsinγsinα，fcosγ。設(shè)B點坐標為(x_B,y_B,z_B)，則C點的坐標為

x_C=x_B+fsinγcosα,y_C=y_B+fsinγsinα,z_C=z_B+fcosγ．　　　　　　(6)

刀具有定姿態(tài)和變姿態(tài)兩種給定方式：定姿態(tài)方式不需要計算旋轉(zhuǎn)矩陣，運算量較��；變姿態(tài)方式需要求出插補周期末刀具的姿態(tài)，計算旋轉(zhuǎn)矩陣，運算量較大。有了刀具的位姿即可用逆運動學(xué)公式求6根伸縮桿的伸縮增量^［4］。

2.2　圓弧插補算法

圓弧插補也需要求出插補周期末刀尖的坐標和刀具的姿態(tài)。圓弧插補示意圖如圖3所示。設(shè)圓弧所在平面過z軸，并且圓心與坐標原點O重合。則輪廓步長f(，并設(shè)，)在3個坐標軸上的投影為fcos(γ+Δγ/2)cosα，fcos(γ+Δγ/2)sinα，-fsin(γ+Δγ/2)，Δγ=f/r(r為圓弧半徑)。

圖3　圓弧插補示意圖

設(shè)B點坐標為(x_B,y_B,z_B)，則點C的坐標為

　(7)

空間曲面(以球頭銑刀銑球面為例)的加工，一般選擇刀具的姿態(tài)(刀具軸線)與圓弧所在曲面的切平面垂直，根據(jù)曲面方程確定刀具的姿態(tài)。刀具的位姿確定后，運用逆運動學(xué)求6根伸縮桿的伸縮增量。
由于插補算法中包含Stewart機構(gòu)的逆運動學(xué)運算，直線插補和圓弧插補的計算量都比數(shù)控機床的直線插補和圓弧插補計算量大。這說明基于空間并聯(lián)機構(gòu)機床的機械結(jié)構(gòu)非常簡單，而數(shù)學(xué)分析非常復(fù)雜^［5，6］。

3　仿　真

該仿真程序采用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計方法，用Visual C⁺⁺ MFC編寫。目的是為了檢驗機構(gòu)逆運動學(xué)模型及插補算法的正確性。用球面類零件檢驗圓弧插補算法，用單葉雙曲面類零件來檢驗直線插補算法。圖4為6桿插補算法的流程框圖。Stewart機構(gòu)參數(shù)為：動平臺半徑為400mm，定平臺半徑為500mm，兩平臺長短邊比均為0.365，伸縮軸的最大長度為1500mm，最短長度為600mm，軸的直徑為40mm。對于球面類零件取半徑為100mm，角度為60°，位置為980mm。刀具長度為30mm，直徑為5mm。對于單葉雙曲面類零件取半徑為100mm，角度為20°，位置為980mm。刀具長度為200mm，直徑為5mm。通過仿真，驗證了基于并聯(lián)加工機逆運動學(xué)模型的插補算法的正確性。

圖4　插補算法流程框圖