第三章 具有非線性遲滯特性鋼絲繩聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識
3-1 引言
由上章對聯(lián)軸器振動試驗研究結(jié)果可知，在大位移振動情況下，聯(lián)軸器表現(xiàn)出非線性遲滯特性．這一特性直接與聯(lián)軸器動剛度及阻尼有關(guān)，當(dāng)這種聯(lián)軸器用于船舶推進軸系時，將影響到軸系的動力特性，因此弄清楚聯(lián)軸器恢復(fù)力與動剛度和阻尼的關(guān)系，即建立聯(lián)軸器恢復(fù)力的數(shù)學(xué)模型是十分重要的，對于深人分析研究推進軸系的動力特性也是不可缺少的。
由鋼絲繩聯(lián)軸器的
-x遲滯回線可知，聯(lián)軸器的遲滯特性不宜用雙線性模型來描述，主要原因是雙線性模型與聯(lián)軸器的動態(tài)遲滯回線外形相差甚遠(yuǎn)，雙線性模型將系統(tǒng)剛度系數(shù)處理成二個線性剛度系數(shù)。這不足以描述鋼絲繩聯(lián)軸器的非線性遲滯特性中的非線性剛度系數(shù)，雙線性模型阻尼僅處理為干摩擦阻尼，也不足以描述聯(lián)軸器阻尼的復(fù)雜成分。一階微分方程模型主要用于遲滯系統(tǒng)的隨機響應(yīng)分析中，這種模型用于計算遲滯系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動力響應(yīng)很不方便，模型中各參數(shù)的物理意義不明確，模型形式不利于各參數(shù)的辨識，而且彈性力和阻尼力在恢復(fù)力表達式中不顯現(xiàn)，不利于理論分析。基于平均和等效原理的跡法和以此為基礎(chǔ)K0等建立的模型都有自己的不足，前者只能描述遲滯恢復(fù)力與位移和速度的關(guān)系，而不能全面描述遲滯恢復(fù)力與各振動參數(shù)的關(guān)系，后者只能描述三個階次非線性彈簧剛度，其應(yīng)用范圍受到限制。由此可知，現(xiàn)有描述遲滯特性的數(shù)學(xué)模型都不能用來描述聯(lián)軸器的非線性遲滯特性。因此，本章將在前人研究的基礎(chǔ)上，研究聯(lián)軸器動剛度和阻尼的特性，建立既能合理描述聯(lián)軸器非線性遲滯特性又能滿足較高精度要求的數(shù)學(xué)模型。
3-2 擬合分解恢復(fù)力-位移遲滯回線
上一章的試驗研究表明，鋼絲繩彈性聯(lián)軸器的本構(gòu)關(guān)系十分復(fù)雜，其恢復(fù)力是聯(lián)軸器動剛度和阻尼的函數(shù)，而動剛度和阻尼又是振幅和頻率的函數(shù)。因此，我們將依靠試驗獲得的測量數(shù)據(jù)，在跡法和文獻的基礎(chǔ)上，深人研究聯(lián)軸器遲滯特性，建立聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型。
由前面聯(lián)軸器位移-恢復(fù)力試驗可知，遲滯回線可以分為上、下兩條，分別對應(yīng)于速度大于零和速度小于零。在鋼絲繩彈性元件性質(zhì)相同和安裝幾何對稱的情況下，上、下兩條恢復(fù)力曲線可以認(rèn)為是位移反對稱的。于是可以用冪函數(shù)多項式，按最小二乘法原理來擬合代表試驗數(shù)據(jù)的上、下兩條恢復(fù)力曲線，設(shè)用于擬合上遲滯回線數(shù)據(jù)的冪函數(shù)多項式為：
根據(jù)反對稱，用于擬合下遲滯回線數(shù)據(jù)的冪函數(shù)多項式為：
式中，H，L分別為聯(lián)軸器遲滯恢復(fù)力上、下曲線，x為位稱，ai為冪函數(shù)多項式系數(shù)。
冪函數(shù)多項式所取項數(shù)n按擬合的遲滯回線形狀和對表達式要求的精度而定。將（3-1）和（3-2）式中冪函數(shù)多項式的奇、偶次項分開寫，可進一步表示為：
經(jīng)以上數(shù)學(xué)處理，聯(lián)軸器的動態(tài)遲滯回線可以分解成1（x）和2（x，
）兩部分，即聯(lián)軸器的遲滯恢復(fù)力由兩部分組成。式中n取奇數(shù)。從幾何意義上講，第一部分為一條單值非線性函數(shù)曲線，第二部分為一條雙值的非線性閉合曲線。從物理意義上講，第一部分代表遲滯恢復(fù)力中的非遲滯非線性彈性恢復(fù)力；第二部分代表遲滯恢復(fù)力中的純遲滯非線性阻尼力。
由試驗知，聯(lián)軸器的遲滯恢復(fù)力不僅是位移x和速度的函數(shù)，而且還是振幅A和頻率ω的函數(shù)，因此遲滯恢復(fù)力的數(shù)學(xué)模型設(shè)為：
（x，
，A，ω）=1（x，A，ω）+2（x，A，，ω） （3-7）
由此可見，遲滯恢復(fù)力的函數(shù)關(guān)系相當(dāng)復(fù)雜，
由試驗還可以知道，頻率增大至一定值后動剛度和阻尼僅是振幅A的非線性函數(shù)，在這種情況下，遲滯恢復(fù)力的數(shù)學(xué)模型可表示為：
（x，，A）=1（x，A）+2（x，A，） （3-8）
由此，我們得到兩種形式的聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型，前者為考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型，后者為不考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型。
至此，盡管我們將遲滯恢復(fù)力擬合分解成了兩部分，但是l和2取什么樣的函數(shù)形式，仍然是一個難題。對此，分三步來研究。第一步先求出不同頻率和振幅下遲滯數(shù)據(jù)回線的擬合遲滯回線，得到對應(yīng)的各階離散的剛度系數(shù)值，以及遲滯阻尼耗能值；第二步再找出這些數(shù)值與頻率、振幅的函數(shù)關(guān)系表達式，從而得到l和2的函數(shù)關(guān)系表達式，第三步，通過參數(shù)辨識，尋找出l和2表達式中的各參數(shù)。
由遲滯回線的形狀可知，聯(lián)軸器具有強非線性的特性，為了在數(shù)學(xué)模型中反映出強非線性的特性，選9階冪函數(shù)多項式來擬合上、下遲滯回線（n=9)，對一定頻率和振幅的每一組試驗遲滯回線數(shù)據(jù)，由線性最小二乘法原理一辨識對應(yīng)的各階擬合系數(shù)。對圖2-14中各遲滯回線數(shù)據(jù)進行擬合，將所得的擬合遲滯回線與圖2-14的遲滯回線畫在一起，如圖3-1（a）所示，由此圖可知，兩者重合性很好。
為了說明5階和7階冪函數(shù)多項式擬合的精度情況，以振幅A=8毫米，頻率為1赫茲為例，畫出擬合回線分別如圖3-1（b）、3-1（c）所示，將它們與對應(yīng)試驗回線圖3-1（d）比較，可知7階擬合精度高于5階。圖3-1（e）為圖3-1（b）與圖3-1（d）的合圖。
為了得到（3-6）式所示的l，2，將擬合得到的各冪函數(shù)多項式奇、偶次項分開寫成（3-5）式形式并作對應(yīng)的曲線圖，如圖3-2（見34頁）所示，這樣就將恢復(fù)力分解成了單值非線性函數(shù)曲線和雙值的非線性函數(shù)閉合曲線，由此得到了對應(yīng)的l（x）和2（x，）的若干組函數(shù)表達式：
式（3-9）中各系數(shù)a2i-1實質(zhì)上代表聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力在對應(yīng)頻率、振幅下的各階剛度系數(shù)。
3-3 聯(lián)軸器數(shù)學(xué)建模
一、不考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型
由于聯(lián)軸器恢復(fù)力僅在一個小范圍內(nèi)受頻率的影響，當(dāng)頻率達到一定值后，聯(lián)軸器恢復(fù)力僅是振幅的函數(shù)，在這種情況下，數(shù)學(xué)模型的表達式為（3-8）式。下面分別研究l和2函數(shù)表達式的結(jié)構(gòu)形式。
1.非遲滯非線性彈性恢復(fù)力l的數(shù)學(xué)模型
在不考慮頻率影響的情況下，聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力，由以上分析，可以建立其數(shù)學(xué)模型如下：
式中K1（A）--K9（A）是鋼絲繩聯(lián)軸器第一～九階彈簧剛度函數(shù)。
這樣的數(shù)學(xué)模型充分地考慮了高階非線性彈性力的影響。式中K2i-1（A）僅是振幅的函數(shù)，其數(shù)學(xué)模型為：
（i=1，2，3，4，5） （3-13）
式中n′根據(jù)精度要求而定。
2.遲滯非線性阻尼力2的數(shù)學(xué)模型
由擬合遲滯回線分解圖3-2中各閉合曲線知，聯(lián)軸器中的阻尼成分非常復(fù)雜，有可能是多種阻尼的組合，根據(jù)聯(lián)軸器彈性元件變形及工作情況，可以認(rèn)為聯(lián)軸器阻尼含有粘性阻尼和干摩擦阻尼的成份較多，因此，在這種情況下我們建立以下二種阻尼力模型：
(1）復(fù)合型阻尼力模型
2=a[a0+a2x2+a4x4+a6x6]sgn（）+C||nsgn（） （3-14）
式中第一項代表除粘性阻尼力和干摩擦力以外的其它阻尼力成份，系數(shù)α決定這些阻尼力所占比例，故定義為阻尼比例控制系數(shù)；第二項代表粘性阻尼力和干摩擦阻尼力綜合阻尼力成份，當(dāng)n=o時，這項為Csgn（），代表干摩擦阻尼力，當(dāng)n=1時，這項為C||sgn（），代表粘性阻尼力，當(dāng)n在（0，1）區(qū)間變化時，第二項代表的是粘性阻尼力和干摩擦阻尼力的混合阻尼力，系數(shù)n決定兩種阻尼各占份額多少，定義為粘摩阻尼分配系數(shù)。式中a0,a2，a4，a6，C,n和α均是振幅的函數(shù)。
(2）等效粘性阻尼力模型
用等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼，其恢復(fù)力構(gòu)建為：
2=C（A，ω） （3-15）
由于聯(lián)軸器阻尼成份的復(fù)雜性，以上建立的二種阻尼恢復(fù)力模型中哪一種用來描述聯(lián)軸器阻尼力更為合理，有待于參數(shù)辨識后才能確定。對于模型（3-14)，我們將先辨識出在不同振幅下模型中的各個參數(shù)，然后再找出這些參數(shù)與振幅的函數(shù)關(guān)系。對于模型（3-15)，我們將根據(jù)一個振動周期內(nèi)遲滯非線性阻尼所耗散的能量與等效粘性阻尼所消耗的能量相等的能量關(guān)系找出等效粘性阻尼函數(shù)C(A，ω）與振幅和頻率的關(guān)系。
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