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二、Galerkin法的應(yīng)用

為了求出{a}，引入無量綱時間τ=ωt，則（5-10）式可以寫成：

式中[q₀  q₁   … q_N  ]^T的各分量為聯(lián)軸器恢復(fù)力（，，，τ）的傅立葉級數(shù)各簡諧分量的系數(shù)分量。[f₁₀  f₁₁    …  f_1N  ]^T，…[f_jo  f_j1    …  f_jN ]^T，…[f_n0  f_n1   … f_nN  ]^T分別為彈性恢復(fù)力和阻尼恢復(fù)力的F₁=k_（n+1）1+c_（n+1）1…，F(xiàn)_j=k_（n+1）j+ c_（n+1）…，F(xiàn)_n=k_（n+1）n+c_（n+1）n的傅立葉級數(shù)各簡諧分量的系數(shù)向量。

由以上推導(dǎo)可知，求解帶有非線性聯(lián)軸器軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以歸結(jié)為聯(lián)合求解2N+1個非線性代數(shù)方程組（5-15）和求解n個微分方程組（5-4)而重點(diǎn)又在于由（5-15）式求得2N+1個未知量［a₀  a₁   … a_N  ］^T。由(5-15）式可知，它不同于一般的非線性方程組，在一般的非線性方程組中，未知量是顯含的，而（5-15）式的未知量{a}是隱含的，而且{q｝是{a｝的非線性函數(shù)。不能通過將yb的傅立葉展開式代人恢復(fù)力Q的表達(dá)式中來直接求得，這是因?yàn)镼表達(dá)式中的振幅不能表示成{a}的顯函數(shù)的緣故。此要想由（5-15）式解得｛a}，還需要解決兩個問題：一是如何求（，，，τ），二是用什么來解隱含{a}的方程組（5-15)。下面就來解決這些問題。

三、ILM法

將非線性方程組簡寫成：

由于向量函數(shù){r（{a}）}中非線性項{q（{a}）}的復(fù)雜性，可行的求解方法是采用數(shù)值法。

對于式（5-17）的數(shù)值法求解問題，我們將其轉(zhuǎn)化為與之等效的目標(biāo)函數(shù)：

的極小值問題。即非線性方程組（5-17）的解{a}可以通過求此極小值問題的最小二乘解得到。在此采用一種改進(jìn)的LM算法（ILM）來求解這一問題。ILM法的基本思想簡述如下：

當(dāng)LM法用于（5-18）問題時，迭代公式為：

式中μ_k是LM參數(shù)，I為單位矩陣，{p^（k）（μ_k）}為搜索逼近（5-17）式解的校正向量，它依賴于參數(shù)μ_k值，控制搜索方向和長度。

LM算法的優(yōu)點(diǎn)是，在計算（5-20）式時，可以不考慮[J（{a^（k）}）]是否滿秩，μ_k可以起到（{a}）下降參數(shù)的作用，{p^（k）（μ_k）}是（{a}）在{a^（k）}處的下降方向，而且總存在這樣的μ≥0，使（{a^（k）}+ p^（k））<{a^（k）}）（對所有k），隨著μ值的增大，{p^（k）（μ_k）}的方向越來越接近（{a}的負(fù)梯度方向，此時，收斂速度變慢，但放寬了對初始近似{a^（0）}的要求。缺點(diǎn)是選擇μ滿足（{a^（k+1）}）<（{a^（k）}）時，在一個迭代步驟中需要多次求解方程組（5-20），大大增加了計算量，因此有必要對LM法進(jìn)行改進(jìn)，以使選擇μk時即不增加太多的計算量，又能保證滿足下降性質(zhì)，即有一定的收斂速度，又能改善（5-20）方程組的病態(tài)性。改進(jìn)后的迭代公式為：

式中為矩陣^（k）的元素。，分別為矩陣L^（k），^（k）的元素。公式（5-23）和（5-27）和（5-28）中不含參數(shù)μ_k，因此改變μ_k時，只需重新計算(5-24),而不需要重新進(jìn)行三角分解。顯然，改進(jìn)后的算法減少了由于選擇合適的μ_k而帶來的計算量。這種算法與LM法的不同之處在于用正定矩陣L_k 代替了單位矩陣I，它不僅調(diào)整了矩陣^（k）的主對角元素，而且對整個矩陣進(jìn)行了調(diào)整，它比LM法有更好的收斂速度。

為了得到合適的μ_k值，使得搜索向量{p^（k）（μ_k）}更快更好地滿足（{a^（k）}+ p^（k））<({a^（k）}），加速收斂，改善LM法對初始值{a^（0）}要求過高的缺點(diǎn)，本文采用一種選擇合適μk值的新算法，對LM法進(jìn)行了改進(jìn)，選擇計算步驟如下：

①.取定初始近似{a^（0）}和初始值，為了調(diào)整μ_k值，引人調(diào)整系數(shù)v,可以取得小一些，取=10^-2，v=5。

②.按（5-21) 式首先算得［J（{a^（0）}）]，然后按（5-26）式算得，再根據(jù)（5-27）、（5-28）式算得矩陣L(0）和^（0）中的各元素，按(5-25）、(5-23）和（5-24）算得{P^（0）（）}；按（5-17）算得{r（{a^（0）}）}；按（5-18）算（{a^（0）}）。并計算{a^（1）}={a^（0）}+{P^（0）（）}和（{a^（1）}）

③.(l）如果（{a^（1）}）≤（{a^（0）}），則以/v代替重新計算{P^（0）（/v）}和新的{^（1）}，（{^（1）}）。（a）如果有（{^（1）}）≤（{a^（0）}），則取定μ₀=/v；（b）如果（{^（1）}）>（{a^（0）}），則取定μ₀=，（2）（{a^（1）}）>（{a^（0）}），則需增大μ值，取=v^m，以代替，逐次對m=1，2，…時的代入（5-24）進(jìn)行計算，最后取定使不等式（{a^（0）}）+{ P^（0）（）}）<（{a^（0）}）成立的最小正整數(shù)對應(yīng)的=作為μ₀以及{a^（1）}={a^（0）}+{P（）}。

④.假定已求得第k次近似{ a^（k）}和相應(yīng)的=μ_k-1，算出[J（{ a^（k）}）]，^（k），L^（k），^（k），r（{ a^（k）}）}，（{ a^（k）}），然后算得{這p（）}，并計算{ a^（k+1）}={ a^（k）}+{P（）}和（{ a^（k+1）}）

⑤.（1）如果（{ a^（k+1）}）≤（{ a^（k）}），則減少以代替重新計算{p（）}和對應(yīng)的{ ^（k+1）}及（{ ^（k+1）}）（a）如果（{ ^（k+1）}）≤（{ a^（k）}），則取定μ_k=；（b）如果（{ ^（k+1）}）>（{ a^（k）}），則取定μ_k=；（2）如果（{a^（k+1）}）>（{ a^（k）}），則增大值，可取=v^m,以代替,逐次時m=1，2，…時的代入（5-24）式進(jìn)行計算，最后取定使不定式({ a^（k）}+{p（）}<（{ a^（k）}）成立的最小正整數(shù)所對應(yīng)的作為以及{a^(k+1)}={a^(k)}+{p()}。

⑥.目標(biāo)函數(shù)（{a}）的k次迭代和k+1次迭代如果滿足絕對誤差和相對誤差精度，即可將{ a^（k+1）}作為近似解。如果不滿足，則以{ a^（k+1）}代替{ a^（k）}，μ_k代替μ_k-1去執(zhí)行步驟⑤，直到滿足要求為止。

至此，（5-17）式的求解方法已經(jīng)建立起來，日（5-17）式求解{a}還需要求出（，，，τ），{q}和（f_j）（j=1，2，…，n）。另外，在用（5-21）式求[J（{a}）]時遇到r_i（{a}）對隱含向量{a}求偏導(dǎo)數(shù)的麻煩，因此在計算[J（{a}）]時，需要做些處理。由（5-15）式可知，它是在頻域內(nèi)的2N+1個非線性代數(shù)方程組，而非線性遲滯恢復(fù)力（，，，τ）是時域函數(shù)，因此在求解（5-15）時需要進(jìn)行頻域與時域相互變換，并做一些數(shù)學(xué)上的處理，下面逐一敘述。

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