第2章 三環(huán)減速機的力學(xué)分析
2.1引言
三環(huán)減速機由于其原理的獨特性，引起了人們的廣泛關(guān)注。為了便于進一步研究這種傳動形式，解決實際應(yīng)用中的各種問題，因此有必要對這種新型傳動形式的受力情況進行研究。本章主要求解本文提出的兩級三環(huán)減速機的二級少齒差傳動部分的受力。三環(huán)減速機采用三相并列平行雙曲柄機構(gòu)一一種自由度小于1的過約束機構(gòu)，屬于超靜定問題，機構(gòu)受力無法用平面剛體力學(xué)方法完全確定，必須建立變形協(xié)調(diào)條件補充受力方程，才能求解機構(gòu)受力。為此，本章首先進行了三環(huán)減速機的運動分析和機構(gòu)分析，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)求解超靜定問題的位移法，結(jié)合三環(huán)減速機的傳動特性，提出了相應(yīng)的變形協(xié)調(diào)條件，建立了對稱A型、對稱B型、偏置型三環(huán)減速機和星型減速機內(nèi)齒環(huán)板的受力分析模型，分別求解四種形式機構(gòu)的受力，并且分析比較了在相同的傳動技術(shù)參數(shù)條件下，不同形式的三環(huán)減速機的受力性能。
2.2三環(huán)減速機的基本原理及機構(gòu)分析
2.2.1三環(huán)減速機的基本原理
三環(huán)減速機是在普通減速機技術(shù)的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)現(xiàn)代機械設(shè)備對傳動機構(gòu)的要求而開發(fā)的一種新型傳動裝置。三環(huán)減速機的基本結(jié)構(gòu)如圖2一1所示，a）是對稱型三環(huán)減速機傳動，b）是偏置型三環(huán)減速機傳動。它由兩根高速偏心輸入軸1、低速輸出軸2、三片內(nèi)齒環(huán)板3和輸出外齒輪4構(gòu)成。三片內(nèi)齒環(huán)板3偏心安裝在兩根高速輸入軸1上，為了平衡內(nèi)齒環(huán)板的慣性力和慣性力偶矩，兩側(cè)環(huán)板與中間環(huán)板偏心之間的相位差為180°，且中間環(huán)板的厚度為兩側(cè)環(huán)板厚度的兩倍，它們都與外齒輪4相嚙合。外齒輪4安裝在低速輸出軸2上，各軸均平行配置，可以單獨或同時傳輸動力。在本文研究的三環(huán)減速機中，為了克服死點及降低高速偏心軸的轉(zhuǎn)速，采用兩級傳動實現(xiàn)雙軸驅(qū)動，帶動三片內(nèi)齒環(huán)板作曲線平動，每片內(nèi)齒環(huán)板都相當(dāng)于一相平行四邊形雙曲柄機構(gòu)的連桿，環(huán)板上每一點的軌跡都是以偏心軸的偏心距為半徑的圓。兩側(cè)環(huán)板與中間環(huán)板以180°圓心角的間隔與外齒輪相嚙合，形成大速比，通過輸出軸傳遞運動和轉(zhuǎn)矩。
2.2.2三環(huán)減速機的傳動比計算
三環(huán)減速機是在N型少齒差行星傳動的基礎(chǔ)上形成的新型內(nèi)齒行星傳動裝置，它是將N型少齒差行星傳動的中心內(nèi)齒輪改作行星輪，將行星外齒輪改作中心輪而形成的新型行星傳動裝置。如圖2-2所示，P點為行星傳動內(nèi)、外齒輪瞬時嚙合節(jié)點，所以有：vP1=vP2，假定速度以圖中向右方向為正方向。外齒輪作以O(shè)1為圓心的轉(zhuǎn)動，故有VP1=ω1r1′，由于內(nèi)齒輪作平動，所以有：VP2=VO2=-ω2a′，則三環(huán)減速機的傳動比為：
式中ω1，Z1，r1′，r1——外齒輪角速度，齒數(shù)，節(jié)圓半徑，分度圓半徑；
ω2，Z2，r2′，r2——轉(zhuǎn)臂（雙曲柄）角速度，齒數(shù)，節(jié)圓半徑，分度圓半徑；
a′——內(nèi)齒行星輪、外齒輪的中心距。
從公式（2-1）中可以看出，三環(huán)減速機二級傳動部分輸入軸與輸出軸轉(zhuǎn)動方向相反且傳動比i2的大小受內(nèi)、外齒數(shù)差的直接影響。當(dāng)Z2-Z1=1時，二級傳動比與外齒輪子齒數(shù)Z1相等。
對于圖1-7所示的兩級三環(huán)減速機的總傳動比i為：
i=i1·i2
式中i1為一級傳動傳動比，
。
2.3三環(huán)減速機的力學(xué)分析
2.3.1內(nèi)齒環(huán)板和轉(zhuǎn)臂偏心軸承的慣性力分析
三環(huán)減速機的精確受力分析是指導(dǎo)三環(huán)減速機設(shè)計的基礎(chǔ)，采用類比和估算設(shè)計制造出的產(chǎn)品存在諸多問題。為此，本章將對三環(huán)減速機的受力分析進行深入的研究，并且探討三環(huán)減速機傳動機理。選取內(nèi)齒環(huán)板為受力分析對象，它受有重力Gi、慣性力Pi和嚙合力Fni，其中嚙合力Fni是主要的受力形式�？紤]到三環(huán)減速機內(nèi)齒環(huán)板的轉(zhuǎn)速較高，且其質(zhì)量較大，故在力學(xué)分析中必須將內(nèi)齒環(huán)板的慣性力和重力考慮在內(nèi)。首先分析內(nèi)齒環(huán)板的慣性力，參考如圖2-3所示的對稱A型三環(huán)減速機內(nèi)齒環(huán)板的受力分析圖，假設(shè)內(nèi)齒環(huán)板的質(zhì)量為mi，轉(zhuǎn)臂軸承的質(zhì)量為miH，內(nèi)齒環(huán)板的質(zhì)心在O點，兩轉(zhuǎn)臂偏心軸的質(zhì)心分別在Ai和Bi點，轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)速為nH。r2、rb2分別為內(nèi)齒輪2的分度圓半徑和基圓半徑，e為轉(zhuǎn)臂偏心距，即內(nèi)、外齒輪的實際中心距。內(nèi)齒輪2的齒數(shù)為Z2，外齒輪的齒數(shù)為Z1，m為齒輪模數(shù)。因內(nèi)齒環(huán)板做平動，則n2=0，其質(zhì)心O以轉(zhuǎn)速nH轉(zhuǎn)動，軌跡是以e為半徑的圓，則
轉(zhuǎn)臂偏心軸承的慣性力為：
2.3.2三環(huán)減速機的變形協(xié)調(diào)條件
三環(huán)減速機采用三相并列平行雙曲柄機構(gòu)作為輸入機構(gòu)，多相并列平行雙曲柄機構(gòu)如圖2-4所示，設(shè)其并列相數(shù)為n，多相平行雙曲柄機構(gòu)分別為A1B1C1D1、A2B2C2D2、……AnBnCnDn，F(xiàn)1、F2分別為兩根曲柄軸上的力；T1、T2分別為兩根曲柄軸上的力矩：P1、P2、……Pn分別為平行雙曲柄機構(gòu)連桿上的力，M1、M2、……Mn分別為各連桿即內(nèi)齒環(huán)板上的力矩。按機構(gòu)自由度分析方法，其自由度為：F=2-n，機構(gòu)中所含的虛約束數(shù)為x=n-1。所以，三環(huán)減速機的機構(gòu)自由度為：F＝-1，機構(gòu)中的虛約束為x=2。三環(huán)減速機運動鏈不滿足靜定條件，用一般平面剛體力學(xué)分析方法無法完全求得機構(gòu)的受力。目前只能采用類比設(shè)計或借助于十分粗略的模型進行受力分析，由此造成品性能不穩(wěn)定，減速機使用過程中常出現(xiàn)發(fā)熱、振動噪聲大、軸承早期損壞等現(xiàn)象，嚴(yán)重制約了這種傳動形式的進一步發(fā)展。分析其原因，主要有：1.沒有弄清各零部件之間的力學(xué)關(guān)系，使得設(shè)計參數(shù)選擇不合理；2.各零部件受力后的變形，使機構(gòu)物件受力更為復(fù)雜。為此需要考慮各構(gòu)件的變形，建立變形協(xié)調(diào)條件作為補充方程。首先分析三環(huán)減速機傳動機構(gòu)變形，三環(huán)減速機傳動機構(gòu)的主要變形有各構(gòu)件的接觸變形、軸的扭轉(zhuǎn)彎曲變形、環(huán)板的拉壓變形等等。根據(jù)位移變形分析可知，軸的彎曲變形和環(huán)板的拉壓變形是主要的變形形式。本文研究的環(huán)板間相位差為180°的完全平衡、均載減振兩級三環(huán)減速機HITSH145的環(huán)板結(jié)構(gòu)如圖2-5所示。
對于環(huán)板，為了計算簡單，將其簡化為等截面桿處理。在圖2-5所示的坐標(biāo)系下，環(huán)板拉壓變形部分的面積為曲多邊形CDEFGH的面積SCDEFGH的4倍，即S=4SCDEFGH。取環(huán)板的寬度b1=19mm，SCDEFGH進行積分運算，由環(huán)板簡化前后體積相等的原則，可得環(huán)板簡化為等截面桿的直徑D=46.86mm。
由于環(huán)板截面的變化沒有突變，加之最小截面處直徑與D相差無幾，因此可把變截面桿的拉壓變形按等截面桿來處理。假定環(huán)板所受x方向的載荷為P，則環(huán)板在x方向的拉壓變形△l為：
式中E——材料的彈性模量，本文中取為2.06×1011N/m2（下同）。
對于三環(huán)減速機輸入軸來說，結(jié)構(gòu)及受載情況如圖2-6所示，其中軸有效長度L=116mm，d=30.5mm，S=27.5mm，輸入軸直徑D=25mm，如果環(huán)板所受載荷為P，則兩側(cè)環(huán)板處輸入軸在x方向的撓度△x為三個撓度的疊加：
中間環(huán)板處輸入軸在x方向的撓度△x為三個撓度的疊加：
由于△x/△l≈4-7，所以三環(huán)傳動中，輸入軸的彎曲變形是主要變形，環(huán)板拉壓變形也同樣不可忽略。參考如圖2-3所示的對稱A型環(huán)板的受力情況，環(huán)板和輸入軸在y方向的變形是二次微小量，可以略去不計。考慮環(huán)板和輸入軸在x方向的變形，任一環(huán)板可以簡化為三段不同直徑的桿，在x方向上分別受到FAix、FBix、嚙合力Fni水平分力和慣性力Pi水平分力的拉伸或壓縮作用；對于輸入軸來說，在輸入軸上任一環(huán)板處Ai（Bi），輸入軸在x方向的撓度△x為偏心軸頸上環(huán)板軸承的作用力FA1x，F(xiàn)A2x，F(xiàn)A3x（FB1x，F(xiàn)B2x，F(xiàn)B3x）在Ai（Bi）點作用的撓度△xAi（Bi）的疊加。則三環(huán)減速機變形協(xié)調(diào)條件取為：在外力作用下，任一環(huán)板處兩個輸入軸在x方向的撓度的差等于該環(huán)板在x方向的變形。上述變形協(xié)調(diào)條件表示為：
式中△xAi——在一輸入軸上環(huán)板處Ai點的由于力FAjx作用的撓度（j=l，2，3)；
△xBi——在另一輸入軸上環(huán)板處Bi點的由于力FBjx作用的撓度（j=1，2，3)；
△li——對應(yīng)于AjBj的一塊環(huán)板在x方向簡化為等截面桿的拉壓變形(j=l，2，3）。
2.3.3環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承的作用力分析
本章分別對相位差為180°的對稱型和偏置型三環(huán)減速機進行受力分析。所謂對稱型三環(huán)減速機，顧名思義，就是指兩個高速輸入軸對稱地分布在低速輸出軸的兩邊的三環(huán)減速機，對稱型三環(huán)減速機按輸入軸的位置又分為兩種，結(jié)構(gòu)形式如圖2-7所示，a）對稱A型和b）對稱B型；偏置型三環(huán)減速機就是指兩個高速輸入軸分布在低速輸出軸的一側(cè)的三環(huán)減速機，結(jié)構(gòu)形式如圖2-8所示；對三種形式三環(huán)減速機的受力分析，主要是考慮第一級齒輪傳動的中心距的需要，對稱B型和偏置型三環(huán)減速機的兩根高速偏心軸軸心距較小，易于實現(xiàn)雙驅(qū)動。對稱型和偏置型三環(huán)減速機的兩根高速輸入軸1相互平行，且各自帶有3個互為180°的偏心軸頸，三片帶內(nèi)齒的傳動環(huán)板，其中兩片兩側(cè)環(huán)板3和一片中間環(huán)板4，通過軸承安裝在輸入軸的對應(yīng)偏心軸頸上，低速輸出軸2與兩根輸入軸平行，其上的外齒輪5與環(huán)板的內(nèi)齒輪構(gòu)成漸開線少齒差內(nèi)嚙合運動副。各軸均通過軸承支承在箱體6上，動力由高速軸1雙軸輸入，低速軸2輸出，傳遞運動和轉(zhuǎn)矩。對于對稱型和偏置型三環(huán)減速機來說，為了考慮慣性力和慣性力偶矩平衡，中間環(huán)板的厚度b2取為兩側(cè)環(huán)板厚度b1的兩部。
內(nèi)齒行星傳動的減速機中，還有一種類似于三環(huán)減速機的星型少齒差減速星型減速機就是指三個高速輸入軸呈星型均勻地分布在低速輸出軸的周圍的少齒差減速機，結(jié)構(gòu)形式如圖2-9所示，不過它只有一片內(nèi)齒環(huán)板。星型少齒差減速機由一根高速偏心輸入軸、兩根高速偏心支承軸、一根低速輸出軸、一片內(nèi)齒環(huán)板和箱體組成。一般用于傳遞中心功率，其結(jié)構(gòu)比較緊湊，可做成立式或懸掛式等多種形式。
下面將對上述幾種減速機轉(zhuǎn)臂偏心軸承的作用力做深入的討論。首先分析對稱型三環(huán)減速機的情況。圖2-10所示為對稱型三環(huán)減速機傳動結(jié)構(gòu)圖，對稱A型的一塊環(huán)板的受力情況和坐標(biāo)系選取如圖2-3所示。對作用于對稱A型環(huán)板上的平面力系，可列出靜力平衡方程：
（i=1，3）
對于中間環(huán)板i=2，靜力平衡方程變?yōu)椋?/p>
式中rb2——內(nèi)齒輪基圓半徑；
Fni——環(huán)板上嚙合力，切于基圓，指向嚙合點。
上式方程數(shù)為9個，而方程中未知量的總數(shù)為12個，故存在3個多余未知量。根據(jù)前述的變形協(xié)調(diào)條件，建立3個變形協(xié)調(diào)方程，作為機械受力分析的補充方程，利用高斯消元法即可求解。
本文研究的傳動比i=21的相位差為180°的對稱A型三環(huán)減速機，傳動技術(shù)參數(shù)為：
L=145mm，Z1=42，Z2=44，m=3.5mm，α=20°，α′=37.356°，T=875N·m。n=1440r/min，b1=19mm，b2=38mm。則兩輸入軸的偏心軸頸上的環(huán)板軸承載荷FAi、FBi隨輸入曲柄轉(zhuǎn)角φ變化的曲線如圖2-11、2-12所示。
對稱A型三環(huán)減速機環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷呈簡諧規(guī)律變化，中間環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷幅值達(dá)4500N，中間環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷約為兩側(cè)環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷的兩倍，且相位差為180°。輸入軸1的載荷幅值比輸入軸2的載荷幅值大約100N，這主要是由于考慮輸入軸的彎曲變形和環(huán)板的拉壓變形的影響而造成的。
對稱B型三環(huán)減速機的一塊環(huán)板的結(jié)構(gòu)如圖2-13所示，它的受力情況和坐標(biāo)系選取如圖2-14所示，符號的標(biāo)定及含義同對稱A型三環(huán)減速機。
對作用于對稱B型環(huán)板上的平面力系，可列出靜力平衡方程：
（i=1，3）
對于中間環(huán)板i=2，靜力平衡方程變?yōu)椋?/p>
式中rb2——內(nèi)齒輪基圓半徑；
Fni——環(huán)板上嚙合力，切于基圓，指向嚙合點。
上式方程數(shù)為9個，而方程中未知量的總數(shù)為12個，故存在3個多余未知量。根據(jù)前述的變形協(xié)調(diào)條件，建立3個變形協(xié)調(diào)方程，作為機構(gòu)受力分析的補充方程，利用高斯消元法即可求解。
本文研究的傳動比i=21的相位差為180°的對稱B型三環(huán)減速機，傳動技術(shù)參數(shù)為：
L=105mm，L′=100mm，Z1=42，Z2=44，m=3.5mm，α=20°，α′=37.356°，T=875N·m，n=1440r/min，b1=19mm，b2=38mm。則兩輸入軸的偏心軸頸上的環(huán)板軸承載荷FAi、FBi，隨輸入曲柄轉(zhuǎn)角φ變化的曲線如圖2-15、2-16所示。
對稱B型三環(huán)減速機環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷比對稱A型的大約45%，中間環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷幅值達(dá)6600N，中間環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷約為兩側(cè)環(huán)板轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷的兩倍，且相位差為180°；初步分析發(fā)現(xiàn)對稱B型三環(huán)減速機的兩輸入軸之間距離2L比對稱A型的小，在傳遞相同扭矩的情況下，由于作用力矩較小，對稱B型轉(zhuǎn)臂偏心軸承載荷必然要大。并且輸入軸1的載荷幅值比輸入軸2的載荷幅值大約200N，這主要是由于考慮輸入軸的彎曲變形和環(huán)板的拉壓變形的影響而造成的。
其次分析偏置型三環(huán)減速機的情況，圖2-17所示為偏置型三環(huán)減速機傳動結(jié)構(gòu)圖，偏置型三環(huán)減速機的一塊環(huán)板的結(jié)構(gòu)如圖2-18所示，它的受力情況和坐標(biāo)系選取如圖2-19所示，符號的標(biāo)定及含義同對稱型三環(huán)減速機。
對作用于偏置環(huán)板上的平面力系，可列出靜力平衡方程：
對于中間環(huán)板i=2，靜力平衡方程變?yōu)椋?/p>
式中 rb2——內(nèi)齒輪基圓半徑；
Fni——環(huán)板上嚙合力，切于基圓，指向嚙合點。
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