第五章 RV減速器固有頻率的研究
RV減速器主要用于機(jī)器人中，而機(jī)器人對(duì)高定位精度和低振動(dòng)水平的要求非常嚴(yán)格，因此還必須考慮RV減速器的動(dòng)態(tài)特性，將其振動(dòng)限制到很低的水平。為此，本課題利用有限元分析軟件ANSYS對(duì)減速器的固有頻率進(jìn)行了研究，分析其振動(dòng)是否達(dá)到要求。
5.1結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析理論
減速器主要由機(jī)架、齒輪、軸、軸承等元件組成，對(duì)于此類(lèi)系統(tǒng)，在內(nèi)部和外部激勵(lì)下將發(fā)生機(jī)械振動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性，一般包括固有頻率和振型，它是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性之一，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)、動(dòng)載荷的產(chǎn)生與傳遞以及系統(tǒng)振動(dòng)的形式等具有重要的影響。而結(jié)構(gòu)在動(dòng)載荷作用下所表現(xiàn)出來(lái)的動(dòng)態(tài)特性是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的基本任務(wù)。
結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中常用的分析模型是集中參數(shù)模型，集中參數(shù)模型是用常微分方程來(lái)描述的，而在集中參數(shù)模型中最常用的是有限元模型
其中，M、c、K分別為總體質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，
為結(jié)構(gòu)的加速度向量、速度向量和為位移向量，f(t）為結(jié)構(gòu)的激振力向量。
若無(wú)外力作用，即f(t)=0，則得到系統(tǒng)的自由振動(dòng)方程。在求結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的頻率和振型即求結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型時(shí)，阻尼對(duì)它們影響不大，因此，阻尼項(xiàng)可以略去，這時(shí)無(wú)阻尼自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為
此時(shí)系統(tǒng)存在n個(gè)固有頻率和n個(gè)主振型。每一對(duì)頻率和振型代表一個(gè)單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)。這種在自由振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)所具有的基本振動(dòng)特性稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的模態(tài)。多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)可以分解為n個(gè)單自由度的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，或者說(shuō)系統(tǒng)的自由振動(dòng)是n個(gè)固有模態(tài)振動(dòng)的線性組合。這意味著多自由度系統(tǒng)一般說(shuō)來(lái)不是作某一個(gè)固有頻率的自由振動(dòng)而是作多個(gè)固有頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成振動(dòng)。
設(shè)多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)中某一簡(jiǎn)諧振動(dòng)形式的解為
凡是滿足頻率方程的
和ω均代表該自由振動(dòng)系統(tǒng)某一階的基本振動(dòng)特性，即系統(tǒng)的某一階模態(tài)。求解式（5-6）得到n個(gè)特征值，特征值代表該系統(tǒng)的各階固有頻率固有頻率具有如下特點(diǎn)：(l）固有頻率僅和系統(tǒng)固有的質(zhì)量和剛度有關(guān)而和外界激勵(lì)無(wú)關(guān)，無(wú)阻尼系統(tǒng)的固有頻率均是正實(shí)數(shù)；(2）固有頻率是系統(tǒng)處在簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)的頻率，多自由度系統(tǒng)處于簡(jiǎn)諧振動(dòng)是指多自由度系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)均處在簡(jiǎn)諧振動(dòng)狀態(tài)；(3）它們由小到大排列，即ω1≤ω2≤…≤ωn。
將各階固有頻率ωi，(i-l,2，…，n）依次代入方程式（5-6）便得到n個(gè)特征向量，即系統(tǒng)的n個(gè)主振型。主振型與固有頻率是一
一對(duì)應(yīng)的，不同的固有頻率對(duì)應(yīng)著不同的主振型。
5.2模態(tài)分析簡(jiǎn)介
結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)要求根據(jù)結(jié)構(gòu)的動(dòng)載功況，根據(jù)對(duì)結(jié)構(gòu)提出的功能要求及設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，按照結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的分析方法和實(shí)驗(yàn)方法反復(fù)進(jìn)行分析和計(jì)算，而結(jié)構(gòu)模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)的核心。從物理方面看，模態(tài)表示其無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)的各階固有頻率和主振型，它表明結(jié)構(gòu)的共振頻率以及在各階頻率下結(jié)構(gòu)的相對(duì)變形。傳統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析只是在機(jī)器制成后在時(shí)域內(nèi)測(cè)定機(jī)器有關(guān)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)量，即選擇若干測(cè)點(diǎn)測(cè)定其位移、速度及加速度隨時(shí)間變化的曲線，這種方法不能直接了解系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性以及響應(yīng)和結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，因此既不能找出產(chǎn)生某種響應(yīng)的原因，更不能在設(shè)計(jì)階段就預(yù)見(jiàn)其動(dòng)態(tài)特性。對(duì)比之下，模態(tài)分析的重要性顯而易見(jiàn)。
對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析是ANSYS的強(qiáng)大功能之一。模態(tài)分析用于確定設(shè)計(jì)中的結(jié)構(gòu)或機(jī)器部件的振動(dòng)特性（固有頻率和振型），其分析過(guò)程主要由四個(gè)步驟組成：
1.建模
建模過(guò)程中必須注意以下兩點(diǎn)：
(l）在模態(tài)分析中只有線性行為是有效的，如果指定了非線性單元，將作為線性的來(lái)對(duì)待。
(2）材料性質(zhì)可以是線性的或非線性的、各向同性的或正交各向異性的、恒定的或與溫度相關(guān)的。在模態(tài)分析中必須指定彈性模量Ex（或某種形式的剛度）和密度DENS（或某種形式的質(zhì)量），而非線性特性將被忽略。
2.加載及求解
(l）選擇一種合適的模態(tài)提取方法�？蛇x的模態(tài)提取方法有：
1)Subspace法（子空間法），該方法適用于大型對(duì)稱(chēng)特征值求解問(wèn)題�？梢杂脦追N求解控制選項(xiàng)來(lái)控制子空間迭代過(guò)程。
2)Blook Lanozos法（分塊的蘭索斯法），適用于大型對(duì)稱(chēng)特征值求解問(wèn)題。
3)PowerDynamics法，此方法適用于非常大的模型（100000個(gè)自由度以上），尤其適合于只求解結(jié)構(gòu)前幾階模態(tài)，以了解結(jié)構(gòu)將如何響應(yīng)的情形，接著可以選擇合適的提取方法（subspace或Block Lanczos）求得最終的解。
4）Reduced Householder法（豪斯霍爾德法），它比Subspace法快，但精度較低。
5）Unsymmetric法（非對(duì)稱(chēng)法）, 該方法適用于系統(tǒng)矩陣為非對(duì)稱(chēng)矩陣的問(wèn)題，例如流體一結(jié)構(gòu)相互作用問(wèn)題。
6)Damped法，主要用于阻尼不可忽略的問(wèn)題例如軸承問(wèn)題。
在大多數(shù)分析過(guò)程中將選用Subspace法、Block Lanczos法、Reduced Householder法或PowerDynamics法，Unsymmetric法和Damped法只在特殊情形下才會(huì)用到，因此本課題中分別采用前兩種方法進(jìn)行了求解,得到相同的結(jié)果。
(2）在模型上加載荷。在典型的模態(tài)分析中唯一有效的“載荷”是零位移約束。如果在某個(gè)DOF處指定了一個(gè)非零位移約束，程序?qū)⒁粤阄灰萍s束替代在該DOF處的設(shè)置。對(duì)于其它類(lèi)型的約束，如力、壓力、溫度、加速度等，可以在模態(tài)分析中指定，但在模態(tài)提取時(shí)將被忽略。
3.觀察結(jié)果，結(jié)果包括固有頻率和振型。
5.3 RV減速器有限元模型的建立及分析結(jié)果
將UG中的幾何模型導(dǎo)入到ANSYS中，利用其AWE模塊可自動(dòng)地劃分網(wǎng)格、施加接觸。在對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行有限元分析時(shí)，所建立的模型在達(dá)到所要求分析精度的前提下應(yīng)該盡量簡(jiǎn)單，這樣可以節(jié)省計(jì)算時(shí)間，因此考慮到針齒殼與機(jī)物固結(jié)，不影響分析，建立有限元模型前將針齒殼去除。對(duì)于RV減速器選用八節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元來(lái)劃分網(wǎng)格，共劃分為56139個(gè)單元和97246個(gè)節(jié)點(diǎn)，劃分網(wǎng)格后的有限元模型如圖5-1所示。同時(shí)AWE模塊根據(jù)所設(shè)定的接觸檢測(cè)的間隙誤差（此處設(shè)為0），自動(dòng)定義接觸，之后在輸入軸上施加固定約束，即可進(jìn)行模態(tài)求解。利用AWE模塊進(jìn)行模態(tài)分析比傳統(tǒng)的ANSYS進(jìn)行模態(tài)分析過(guò)程簡(jiǎn)單、方便、所得結(jié)果也非常準(zhǔn)確。
對(duì)上圖有限元模型進(jìn)行模態(tài)計(jì)算時(shí)不必求出全部的固有頻率和振型，越是低價(jià)模態(tài)，對(duì)振動(dòng)影響越大，通常取前5～10階模態(tài)，精度就已足夠。本課題在分析中求解了前11階模態(tài)，這些模態(tài)的固頻率和振型情況見(jiàn)表5-1，圖5-2僅給出減速器的前6階固有振型，通過(guò)振型圖和各階振型的動(dòng)畫(huà)顯示，可直觀地分析RV減速器的動(dòng)態(tài)特性。
| 模態(tài)階次 |
固有頻率（Hz) |
振型 |
| 1 |
836.42 |
輸入軸水平擺動(dòng) |
| 2 |
841.39 |
輸入軸垂直擺動(dòng) |
| 3 |
1300.58 |
剛性盤(pán)和輸出盤(pán)扭轉(zhuǎn)＋擺線輪扭轉(zhuǎn) |
| 4 |
4164.25 |
輸入軸垂直彎曲 |
| 5 |
4403.56 |
輸入軸水平彎曲 |
| 6 |
4882.55 |
輸入軸軸向伸縮 |
| 7 |
8323.59 |
輸入軸與漸開(kāi)線齒輪水平擺動(dòng) |
| 8 |
9240.31 |
漸開(kāi)線齒輪、曲柄軸及擺線輪扭轉(zhuǎn) |
| 9 |
9947.73 |
漸開(kāi)線齒輪與曲柄軸擺動(dòng) |
| 10 |
10112.03 |
剛性盤(pán)與輸出盤(pán)膨脹 |
| 11 |
10159.04 |
漸開(kāi)線齒輪與曲柄軸擺動(dòng) |
表5-1 RV減速器的固有頻率及振型表
在RV減速器的負(fù)載變化和誤差較小的情況下，其激勵(lì)就是嚙合剛度的變化頻率。RV減速器的嚙合剛度由漸開(kāi)線齒輪傳動(dòng)嚙合剛度和擺線針輪傳動(dòng)嚙合剛度組合而成，該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期應(yīng)是所包含的兩種嚙合剛度變化周期的最小公倍數(shù)，由于從輸入齒輪軸到擺線輪的減速比很大，可以把擺線針輪嚙合剛度變化的周期作為運(yùn)動(dòng)周期，其變化的頻率為
f2=n2·（Zb-1）/60 （5-7）
式中，n2是第二級(jí)減速部分的輸入轉(zhuǎn)速。在額定功況下，輸入軸轉(zhuǎn)速為1500r/min，則n2約為435r/min，這樣得f2=210.25Hz，由
5-1可以發(fā)現(xiàn)基叔遠(yuǎn)大于激勵(lì)頻率，因此RV減速器的振動(dòng)水平很低，這也是RV減速器越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于機(jī)器人的一個(gè)非常重要的原因。
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