3.2.1 齒輪系統(tǒng)有限元模型的建立
通常，實際工程結(jié)構(gòu)都是質(zhì)量、剛度和阻尼連續(xù)分布的連續(xù)系統(tǒng)，其動力學(xué)特性常常用偏微分方程組描述，但由于實際結(jié)構(gòu)的幾何形狀及邊界條件復(fù)雜，難以用解析法求解偏微分方程組。于是，通常對實際工程結(jié)構(gòu)離散化，將連續(xù)分布參數(shù)系統(tǒng)簡化為具有有限多個自由度的集中參數(shù)系統(tǒng)。用矩陣表達(dá)式對每個單元進(jìn)行單元分析，根據(jù)虛位移原理建立單元的動態(tài)平衡方程式；然后，作整體分析，得到整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)方程式。應(yīng)用自由振動邊界條件，得到由有限元法計算整個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)固有振動特性的基本方程。這樣，通過離散化模型，可將復(fù)雜的偏微分方程組簡化為可以求解的常微分方程組，從而使問題的求解大大簡化。如前所述，雙環(huán)減速器結(jié)構(gòu)運(yùn)動特性復(fù)雜，既有旋轉(zhuǎn)齒輪運(yùn)動，又有連桿平面運(yùn)動，根據(jù)這一具體情況，本文用集中參數(shù)法建立了該傳動系統(tǒng)的彎——扭耦合振動的動力學(xué)分析模型。對箱體建立了有限元分析模型，該有限元模型的建立是用SDRC公司的I-Deas大型集成化軟件完成，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行動力學(xué)響應(yīng)分析計算。當(dāng)進(jìn)行系統(tǒng)的模態(tài)計算時，為了模型建立的方便，則將齒輪輪齒部分簡化為分度圓柱，將齒輪和輪毅及輪毅與軸的緊配合聯(lián)接看成剛性聯(lián)接，忽略鍵槽、倒角和退刀槽的影響，利用自由網(wǎng)格劃分法（Free Meshing）對齒輪進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。圖3.17為輸出齒輪軸的結(jié)構(gòu)示意圖，齒輪的有關(guān)參數(shù)見表2.1。物理參數(shù)為：彈性模量E=2.06×l011N/m2，泊松比為0.3, 材料密度p=7.8×103kg/m3。
采用四節(jié)點四面體單元，利用軟件自由網(wǎng)格劃分法（Free Meshing ）對輸出齒輪軸進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分。減速箱的其它零件采用相同的方法進(jìn)行有限元建模，圖3.18為輸出齒輪軸的有限元網(wǎng)格模型共劃分為3021個單元，835個節(jié)點，圖3.19為偏心軸的有限元網(wǎng)格模型，共劃分為4098個單元，1188個節(jié)點，圖3.20 為環(huán)板的有限元網(wǎng)格模型，共劃分為1505個單元，594個節(jié)點。
雙環(huán)減速器箱體是用鑄鐵鑄造而成，不考慮或?qū)Ψ治鲇绊懮跷⒌慕Y(jié)構(gòu)特征，如小孔、園角、倒角、螺栓孔等，在進(jìn)行減速箱實體建模時，忽略上述因素的影響，同時將箱蓋與箱體合為一體，而齒輪箱與前后端蓋、軸承組合而成，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，建模時不考慮頂蓋與箱體、前后端蓋、軸承與箱體的接合部的影響。軸承采用相同尺寸的圓環(huán)套，而其材料性質(zhì)用具有與軸承等效剛度相同的材料參數(shù)，這些處理不會對齒輪箱體的重量及剛度產(chǎn)生大的影響，完全能保證足夠的計算精度。用自由網(wǎng)格劃分方法（Free Meshing)，采用八節(jié)點四面體單元劃分網(wǎng)格，圖3.21為所建立的齒輪箱有限元模型網(wǎng)格，節(jié)點數(shù)為8761，單元數(shù)為28286。前面分別建立了齒輪系統(tǒng)主要零件和箱體的有限元網(wǎng)格，將簡化后的軸承用相同的方法進(jìn)行有限元網(wǎng)格劃分，再用I-DEAS軟件的APPED命令將齒輪系統(tǒng)的各零部件集成為整個系統(tǒng)的有限元網(wǎng)格模型，如圖3.22 所示。
齒輪系統(tǒng)整個模型的單元數(shù)為112072，節(jié)點數(shù)為66120。
劃分有限元網(wǎng)格后，還必須對整個網(wǎng)格模型進(jìn)行檢查，從而保證計算結(jié)果的真實性和準(zhǔn)確性。首先檢查自由單元邊，當(dāng)單元的某一邊不在其它單元之內(nèi)時，稱為自由單元邊。在復(fù)雜模型的建立過程中，通過拉伸旋轉(zhuǎn)等操作產(chǎn)生的各個部件，有時會沒有連接在一起，這將導(dǎo)致有限元模型開裂，影響計算結(jié)果，嚴(yán)重時將使計算失敗。其次檢查重復(fù)單元、重復(fù)節(jié)點，根據(jù)情況決定是否將它們合并在一起。最后檢查單元的形狀參數(shù)，過度扭曲的單元將影響計算，必須并將其修改為可以接受的形狀。
3.2.2 齒輪系統(tǒng)有限元模態(tài)分析
結(jié)構(gòu)模態(tài)是振動系統(tǒng)特性的一種表征。一般來說，模態(tài)參數(shù)包括固有頻率、固有振型、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼比等，但其中最重要的是前兩項。模態(tài)參數(shù)將表明在哪幾種頻率下結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生共振以及在各階頻率下結(jié)構(gòu)的相對變形，對于改善結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，這是最重要的基本參數(shù)。
通常，結(jié)構(gòu)的前幾階固有頻率較低，對結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性影響較大，所以分析時只提取齒輪系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的前20階固有頻率及其對應(yīng)的振型便能滿足工程需要。為了能反映箱體的實際情況，在進(jìn)行模態(tài)分析時將箱體底座z方向約束，地腳螺栓處用固定約束，研究系統(tǒng)的約束模態(tài)。利用I-DEAS軟件的固有模態(tài)求解模塊求解模型的固有頻率和固有振型的方法有：Lanczos法、Guyan Reduction法和同步向量迭代法（Simultaneous vecto: Iteraron,SVI）。Guyan法是決動力學(xué)問題的一種古典方法，但計算結(jié)果的精度在很大程度上取決于模型中的主自由度的選取。SVI法的精度不取決于用戶的判斷，但通常計算時間比Guyan法要長。一般求結(jié)構(gòu)的固有頻率和固有振型時用Lanczos法，Lanczos法是近年來新興的一種模態(tài)求解方法，其特征值、特征向量求解精度高。它的計算速度比另兩種方法快，不需要選取“主自由度”，且要求的輸入數(shù)據(jù)較少。Lanczos法使用Stunn序列檢查，在用戶感興趣的頻率范圍內(nèi)，在每個漂移點處如果不能找到所有的特征根，Lanczos法會給出提示信息，以避免漏根和引入不可能的根。用Lanczos法求解特征值和特征向量時，先根據(jù)載荷空間分布模式按一定規(guī)律生成一組相互正交的Lanezos向量，在將系統(tǒng)運(yùn)動方程轉(zhuǎn)換到這組Lanczos向量空間以后，對運(yùn)動方程進(jìn)行縮減，然后通。過求解一次縮減了的運(yùn)動方程的特征值問題，再經(jīng)過坐標(biāo)系的變換，進(jìn)而就可得到原系統(tǒng)的部分特征解，從而避免了一般算法如反迭代法或子空間迭代法中的多次迭代步驟，因而，顯著提高了求解效率。Lanczos方法適應(yīng)面廣泛，可適用于所有的大中型結(jié)構(gòu)問題，并都能給出很好的結(jié)果。
與其它特征值問題求解方法一樣，Lanczos算法的主要目的是求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學(xué)方程。
從而使對A的特征值求解轉(zhuǎn)化為對T 的求解。由此可見，Lanczos算法的最大優(yōu)點是其所得的三對角陣T的特征解直接近似于原矩陣A中r個特征根。因此，對于僅需求解部分模態(tài)解的大型結(jié)構(gòu)問題，Lanczos法可以在子空間內(nèi)非�？焖儆行У厍蠼狻１菊n題對系統(tǒng)各主要零部件及整體系統(tǒng)固有特性的求解就采用了這種方法。
如圖3.22 所示的齒輪系統(tǒng)有限元模型，根據(jù)實際的安裝情況，為了能比較準(zhǔn)確地反映實際狀態(tài)，箱體的邊界條件為：箱體底座垂直方向約束，四個螺栓孔處全部固定約束。則研究齒輪系統(tǒng)的約束模態(tài)，表3.14～3.15分別為用I-Deas軟件的Lanczos模態(tài)求解法計算得到的各重要零部件及齒輪系統(tǒng)前上10階固有頻率和響應(yīng)的振型情況。限于篇幅，圖3.23給出了齒輪系統(tǒng)的前十階固有振型。
表3.14 ??齒輪系統(tǒng)前10階固有頻率和振型
模型 |
固有頻率（Hz） |
振型特征 |
| 1 |
974.3714 |
箱體橫向（y向）彎曲 |
| 2 |
1219.1347 |
箱體橫向（x向）彎曲 |
| 3 |
1575.9162 |
輸入軸輸出軸彎曲+箱體扭擺 |
| 4 |
1690.4077 |
箱體底面向內(nèi)凹陷 |
| 5 |
1733.7038 |
輸入軸輸出軸向下彎曲 |
| 6 |
1738.6459 |
輸出軸輸出軸彎向上彎曲 |
| 7 |
1871.7482 |
輸入軸輸出軸水平彎曲 |
| 8 |
2345.6277 |
箱體兩邊膨脹中間向下凹陷 |
| 9 |
2657.8228 |
環(huán)板扭擺 |
| 10 |
2706.0426 |
輸入軸輸出軸彎曲向上彎曲+箱體扭彎 |
表3.15 零件前10階固有頻率
| 模態(tài) |
固有頻率（Hz） |
| 環(huán)板 |
輸出軸 |
偏心軸 |
輸入軸 |
箱體 |
| 1 |
1097.70 |
3004.30 |
2037.79 |
4538.75 |
890.79 |
| 2 |
1490.23 |
3021.40 |
2039.17 |
4542.69 |
1317.35 |
| 3 |
2355.64 |
6231.67 |
5118.85 |
10006.96 |
1428.24 |
| 4 |
2638.10 |
7985.83 |
5126.75 |
10326.25 |
1510.36 |
| 5 |
2977.05 |
8009.92 |
5590.44 |
10329.09 |
1681.76 |
| 6 |
3034.42 |
9210.48 |
8503.90 |
15266.32 |
1725.52 |
| 7 |
3457.06 |
13634.45 |
8939.29 |
18645.97 |
1761.74 |
| 8 |
3754.52 |
13704.50 |
8961.50 |
18668.88 |
2010.17 |
| 9 |
4296.74 |
14793.46 |
11425.93 |
19068.83 |
2021.84 |
| 10 |
4781.41 |
15484.25 |
13581.56 |
27836.97 |
2059.41 |
3.3 本章小結(jié)
在分析誤差對直齒內(nèi)嚙合傳動重合度的影響分析的基礎(chǔ)上，考慮部分制造誤差及安裝的影響，對環(huán)板內(nèi)齒的嚙合傳動，建立了考慮誤差的環(huán)板內(nèi)齒接觸有限元模型，并按不同的誤差狀態(tài)，組合成十種不同的工況，對不同的工況分別建立了有限元接觸分析計算模型，通過計算結(jié)果分析討論了誤差及載荷變化的對齒輪接觸齒對的影響，指出了因載荷不均造成的減速器振動因素。
1）在雙環(huán)減速器齒輪系統(tǒng)的制造、安裝誤差中，齒輪側(cè)隙的誤差對齒輪重合度的影響大于中心距誤差對重合度的影響。而對于齒側(cè)隙的誤差大小重要是由于齒輪變位系數(shù)的變化造成的。即齒輪變位系數(shù)的誤差對齒輪重合度的影響大于中心距誤差對重合度的影響。
2）對于兩環(huán)板與輸出齒輪的傳動，如果兩環(huán)板對于輸出齒輪中心不對稱，即當(dāng)兩偏心軸上的兩偏心曲拐的誤差不一致時，將產(chǎn)生兩環(huán)板嚴(yán)重的載荷不均現(xiàn)象。這是雙環(huán)減速器產(chǎn)生振動故障的重要因素。
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