文獻[1]運用“向量回轉”的數學方法，對共軛圖形間的接觸狀況進行了詳細分類，并論述五類問題的基本求解方法。其核心就是根據接觸點應滿足的條件及不同的接觸點狀態(tài)和曲面的基本形態(tài)，推導出特定的微分方程進行求解。
嚙合原理是針對嚙合傳動的特點，研究共軛曲面問題，它以共軛曲面的基本原理為根據，著重研究共軛曲面的求解、確定兩類界點、計算滑動率和誘導法曲率等與嚙合傳動特性密切相關的內容。常見的共軛曲面求解方法有齒廓法線法、包絡法、X.и.ГoxMaH法和運動學法[2]等等。
在齒輪嚙合原理中被稱為Willis定理的平面嚙合基本定理認為：按給定角速比變化規(guī)律傳遞平行軸之間的回轉運動的兩個齒廓，其接觸點處的公法線應當通過瞬時嚙合節(jié)點。齒廓法線法就是以Willis定理為依據的平面嚙合的共軛曲面求解方法。它具有直觀、容易理解和求解方便的特點，尤其適合于定速比傳動，即嚙合節(jié)點位于連心線上固定位置的平面嚙合求解。
包絡法是根據包絡理論求解包絡面的一種方法。參與嚙合的一對齒面在傳動中應當彼此連續(xù)接觸，在相對運動中它們互為包絡曲面。由微分幾何知識可知，包絡面和被包絡面在瞬時接觸線的各個點處有公切面和公法線。根據這個理論，通過特定的坐標變換，就能求出已知曲面的包絡面方程和嚙合面方程。包絡法思路清晰，易于理解。但由于它是純微分幾何的方法，沒有考慮運動學因素，因此求解過程比較繁復。N.и.ΓoxMaH法是一種改進的包絡法，其特點是能夠在與任何一個曲面相固連的坐標系中求出瞬時接觸線，這樣就可以選取使問題變得最為簡單的坐標系進行求解，而沒有必要經過變換和逆變換來求解。
運動學法以共軛接觸點應滿足的條件為根據,推導出共軛曲面嚙合方程,再由空間坐標的轉換關系求解出嚙合面方程和共軛齒面方程。因在共軛接觸點處相對運動線速度矢量沿法線矢量方向的分量為零，若設接觸點處兩齒面的公法線矢量為n，相對運動速度矢量為v(12)，則有
n·v(12)=0
這就是運動學法的共軛曲面嚙合方程。它表達了曲面的幾何參數與運動參數之間的關系。由此關系和空間坐標的轉換關系便可求解出任一坐標下的接觸線方程，即可求出嚙合面方程和共軛齒面方程。由于運動學法利用了運動學方法求解相對運動來解決共軛曲面問題，使求解過程更為簡捷明了，便于掌握和運用，因此成為共軛曲面解法的主流方法。
1.1.2 輪齒修形
輪齒修形的目的，是在彈性變形條件下，使輪齒載荷分布均勻，減小傳動誤差，從而提高齒輪的承載能力和傳動精度、減小沖擊、降低噪聲[10-63]，其研究主要是針對多齒嚙合的過渡狀態(tài)。在多齒嚙合的嚙入和嚙出過程中，接觸齒以所承受的載荷要發(fā)生變化，輪齒的彈性變形亦隨即發(fā)生變化；同時，由于彈性變形的影響，輪齒基節(jié)發(fā)生變化，輪齒的嚙入和嚙出位置與在剛性情況下不同。這就造成當主動輪作等速回轉時，從動輪的運動是不等速的，它一邊轉動一邊作周向振動，而且其位置要比不考慮彈性變形時的理論位置滯后一個角度。由以上分析可知，即使對于理想的無誤差齒輪嚙合，其載荷分配系數和從動輪滯后角也會產生較大的階躍式變化。為了獲得較平穩(wěn)的傳動，要求從動輪滯后角的變化幅度為最小。還要求載荷分系數不要有階躍式變化，至少變化應比較平穩(wěn)。要達到此目的，就必須對齒廓進行修形，使其滿足某種給定的載荷分配系數和從動輪滯后角的變化規(guī)律。修形曲線不僅與齒輪所受載荷有關，而且與選定的載荷分配系數和從動輪滯后角的變化規(guī)律有關�？紤]加工條件等因素的影響，可以選擇不同的修形曲線和修形位置。從以往的研究來看，以齒頂和齒根修形居多，這就是齒輪的齒廓修形。齒輪的齒向修形是為了改善由于軸系變形和安裝誤差而產生的偏載現(xiàn)象。載廓修形和齒向修形技術都已分別有比較成熟的手段。但齒廓修形和齒向修形存在嚴重的相互干擾，分別設計齒廓修形和齒向修形，然后機械地疊加在一起的方法已不能滿足要求。隨著有限元、邊界元方法的應用和試驗手段的發(fā)展，近年來，出現(xiàn)了用拓撲學方法計算齒面修形[19][23]和三維有限元與數學規(guī)劃相結合[22]的三維修形的研究。三維修形CNC磨齒機的出現(xiàn)也給三維修形的加工提供了技術手段。文獻[63]介紹了用實驗的方法研究斜齒輪修形，避開復雜的理論計算，根據傳動的外特性確定修形位置和修形量，這也是一種獨特的齒輪修形研究方法。
以往的修形研究多為針對不同的嚙合傳動形式進行單一對象的研究，缺乏統(tǒng)一的理論和方法。
1.1.3 彈性共軛曲面原理的意義
考慮變形對傳動影響的研究日益深入，但對于因彈性變形造成的齒面的非共軛性問題還很少進行研究。在嚙合的非多齒嚙合過渡狀態(tài)，齒面的彈性變形同樣使傳動產生一定的不平穩(wěn)性。某些新型的傳動形式（如針輪套筒活齒少齒差傳動等），以剛性條件下的嚙合理論分析，它們是非連續(xù)定速比的，但由于彈性變形的作用，它們不僅是連續(xù)的，而且還是十分平穩(wěn)的。
在機械加工中，零件表面的形成就是一個共軛曲面形成的過程，尤其在復雜型面的加工中，這一過程表現(xiàn)為多自由度的共軛運動。加工過程中，工藝系統(tǒng)在切削力作用下將產生彈性變形，為了加工出滿足一定精度要求的表面，這個加工成形的研究也需要考慮彈性變形的影響。
傳統(tǒng)的共軛曲面原理是在將共軛曲面視為剛體的條件下進行研究的。而在現(xiàn)實的機械加工和機械傳動中，其成對相互作用的幾何圖形并非剛體，它們必然在受力時產生一定的彈性變形，這就導致它們運動間的內在聯(lián)系和相互轉換規(guī)律與作為剛體時不同。這個偏差反映到機械傳動中就是載荷分布規(guī)律和運動特性等等的變化；反映到機械加工中就是曲面成形的誤差。隨著機械傳動朝著高速、重載、高效、低噪聲方向發(fā)展，機械加工朝著高精度、高效率方向發(fā)展，它們的研究都需要彈性共軛曲面理論作指導。但有關彈性共軛曲面原理的理論研究，至今還未見有公開發(fā)表的文獻。
因此，為適應現(xiàn)代機械工業(yè)發(fā)展的現(xiàn)實需要，在現(xiàn)有的研究成果的基礎上，打破傳統(tǒng)理論的束縛，研究在彈性變形條件下成對幾何圖形及其運動間的內在聯(lián)系和相互轉換規(guī)律，建立對機械設計和制造具有普遍指導意義的彈性共軛曲面理論，具有重大的理論意義和現(xiàn)實意義。該項研究符合“扎扎實實發(fā)展機械制造共性基礎技術，提高質量和水平，不斷更新和提高機械設計理論和方法，更新設計規(guī)范和準則……”[64]的先進制造技術發(fā)展道路的需要。
1.2 鼓形齒聯(lián)軸器概述
鼓形齒聯(lián)軸器（結構如圖1-1所示）是機械傳動的重要基礎部件，它是在直齒齒輪聯(lián)軸器基礎上為滿足大傾角、變化傾角、大傳遞轉矩、小尺寸、高可靠性等要求發(fā)展起來的。它已在冶金、采礦、化工、起重運輸等機械設備中廣泛應用[65-67]。尤其是在冶金設備中更是大量采用。如武鋼引進的一米七軋機系統(tǒng)中裝機量達2500套。國際上一些工業(yè)發(fā)達國家五十年代就有鼓形齒聯(lián)軸器的應用。我國近十幾年來從國外引進的成套和單機設備中大量采用了鼓形齒聯(lián)軸器。國內雖在六十年代開始在軋機主傳動上應用了鼓形齒聯(lián)軸器，但是設計制造技術落后，沒有廣泛推廣應用。近十幾年來，國內一些廠家為了滿足從國外引進設備的鼓形齒聯(lián)軸器的進口設備備件需要，通過消化吸收引進技術，進行批量仿制鼓形齒聯(lián)軸器，同時進行較深入的機理研究[69-79]。但未建立一套自己的完整合理的設計方法，制造技術也較落后。
由于鼓形齒聯(lián)軸器具有突出的優(yōu)點，在國際上一些工業(yè)發(fā)達國家，五十年代就開始取代直齒齒輪聯(lián)軸器。前蘇聯(lián)、德國、日本等國家在理論研究上也開展較早。國內是從引進設備部件測繪仿制開始研究的。原西德的H.BENKLER博士對鼓形齒聯(lián)軸器作了幾何學和力學的理論分析，進行了計算公式的推導，成為不很完善的設計理論和設計方法并得以應用[68]。其運動學是簡化為平面運動分析的；其力學方面是基于靜載荷情況分析的；關于鼓度曲線方面未加研究。而鼓形齒聯(lián)軸器本身的運動狀態(tài)是復雜的空間運動，其存在的非勻速轉動將產生動載荷和振動等問題；鼓度曲線直接影響鼓形齒面的曲率、齒接觸狀況、齒嚙合對數、齒側間隙、齒面相對滑動、載荷分布等多項嚙合特性。因此，還存在著許多需要進一步探究的設計理論問題，包括運動學、動力學、齒輪幾何參數等方面。德國學者R.HEINZ認為：“到目前為止，關于齒輪聯(lián)軸器的嚙合過程還沒有可靠的根據和完整的論述。而這個工作的難點就在于對齒輪運動學的解釋和對運動時載荷分布的解釋。”
1.2.1 設計方面
鼓形齒聯(lián)軸器傳動原理如圖1-2所示。鼓形齒聯(lián)軸器的內齒輪為一直齒內齒輪。外齒輪是齒頂面為一球面的鼓形齒輪。根據外齒輪齒面產生方式的不同，外齒輪又分為共軛齒面鼓形齒輪和非共軛齒面鼓形齒輪。由于鼓形齒輪加工工藝的關系，現(xiàn)使用的鼓形齒聯(lián)軸器多為非共軛齒面外齒輪的鼓形齒聯(lián)軸器。共軛齒面的鼓形齒齒面由與內齒輪共軛的加工方式產生；非共軛齒面的鼓形齒齒面相當于在不同端截面逐漸變位的一系列齒輪片相迭而成，變位量與軸向坐標形成的曲線稱為鼓度曲線。鼓度曲線是鼓形齒聯(lián)軸器特有的重要幾何參數，現(xiàn)所用的多為一段圓弧，也有用三段圓弧的，這些圓稱為位移圓。在圓弧鼓度曲線中，有位移圓中心在齒輪軸線上的，有不在軸線上的；有位移圓中心與齒頂球面中心重合的，也有不同中心的。鼓度曲線的設計無統(tǒng)一理論方法，通常是一經驗設計。究竟采用哪種曲線，有不同的考慮方面，總的待定要求是：（1）在軸間傾角處于最大時不出現(xiàn)棱邊接觸現(xiàn)象；（2）輪齒集中載荷越小越好，而齒面曲率與位移圓曲率成正比，因此位移圓半徑rg應盡可能大。鼓度曲線曲率半徑與內齒單側減薄量成正比關系，即它與齒的嚙合間隙有關，減薄量不足時可能造成干涉，減薄過多則削弱齒的強度且側隙太大。
鼓形齒聯(lián)軸器的運動狀態(tài)是復雜的空間運動�，F(xiàn)有資料均把它簡化為展開的平面運動進行分析，在有軸間傾角的狀態(tài)下，將運動分為齒的擺動運動和翻轉運動。這兩種運動在嚙合半周中經歷純擺動—復合運動—純翻轉—復合運動—純擺動的循環(huán)運動過程，如圖1-3所示。純擺動—純翻轉的相位差為90°。在非純擺動和純翻轉運動過程中，內外齒的相對運動是擺動運動和翻轉運動的復合運動[68]。顯然這種簡化分析方法是很粗略的，無法確切地描述空間嚙合狀態(tài)，但是它對于分析齒向位移、棱邊卡死現(xiàn)象及說明某一輪齒所處周向位置是有意義的。
在非共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有軸間傾角的傳動中，存在著非勻速轉動。這種非勻速運動在高速轉動中將產生很大的周向沖擊[80]，成為傳動中的附加動載荷，這是不容忽視的。由于空間運動非常復雜，以往多數是以空驗方法研究附加載荷的影響[80-82]，主要是研究它的振動外特性、找出與此有關的一些因素，尤其是影響臨界速度最大的因素。根據研究發(fā)現(xiàn)，附加載荷是諧波分布的，消除或者減小這一附加載荷，對于改善動態(tài)特性，提高臨界轉速是非常有意義的，而這又與運動特性是密切相關的。
同其他齒輪傳動一樣，設計時要計算校核齒面接觸應力和齒根彎曲應力。由于對接觸齒對數及載荷分布很少研究，這兩項應力無法求出精確的值。在齒面接觸應力的計算中，一般作無軸線偏移簡化，按赫茲公式計算出齒面接觸應力，用偏載系數予以修正。由于鼓形齒聯(lián)軸器的工作條件與一般齒輪傳動不同，許用應力也難于取得合適的值。其許用接觸應力在分析試驗的基礎上，參照國外所用的許用值，通常只能取一般齒輪傳動的1/4～1/4.5，大模數的尤其要打折扣[83]。齒根應力一般以一半齒對平均受力進行強度校核，因此也是很粗略的[84][85]。
還有許多影響齒輪聯(lián)軸器壽命的其他因素，如材料及熱處理、整體重量、潤滑條件、安裝和運行環(huán)境等等[86-87]。材料是重要的因素，一般采用合金鋼表面氮化處理，可使聯(lián)軸器具有高速、高承載能力、高傳動效率和長壽命[82]。聯(lián)軸器整體重量越輕，作用在聯(lián)軸器上的慣性力和附加動載荷則越小，很顯然，聯(lián)軸器的輕型化是有利于提高壽命的[89]。鼓形齒聯(lián)軸器對潤滑狀態(tài)十分敏感，不良的潤滑往往使聯(lián)軸器在短時間失效。雖然這些因素影響齒輪聯(lián)軸器壽命，但不是本文的研究重點，因此不加以詳述。
由于鼓形齒聯(lián)軸器的輪齒參數對傳動特性的影響還有待于進一步研究，國內外的聯(lián)軸器標準均未給出輪齒的設計參數，如國內的ZB J19 012-89/ZB J19 013-89、ZB J19 014-89[90]，美國的AGMA 516.01-78，日本的JIS B 1453-84，俄國的ΓOCT 506-83E等[91]。
為了設計出具有更高承載能力和更長工作壽命的鼓形齒聯(lián)軸器，就需要對鼓形齒聯(lián)軸器進行全面深入的運動和力分析，研究其嚙合運動規(guī)律和特性。通過選擇恰當的鼓度曲線和其他齒輪參數，優(yōu)化其力學特性，從而增加接觸齒對數，提高傳動的平穩(wěn)性，降低傳動的附加載荷，提高承載能力，延長工作壽命。
1.2.2 實驗方面
以往的鼓形齒聯(lián)軸器實驗主要是性能試驗。四川資陽內燃機車廠進行了鼓形齒齒輪聯(lián)軸器動載特性試驗[92]，在工況箱負荷試驗臺上測試不同傾角狀態(tài)由低速到高速的承載力矩。機械工業(yè)部蘭州石油機械研究所進行了鼓形齒聯(lián)軸器臺架試驗[93]，測試齒根彎曲應力、承載能力和效率，但沒有確定出現(xiàn)最大齒根彎曲應力的嚙合位置。這個試驗證明了現(xiàn)設計的鼓形齒聯(lián)軸器有足夠的彎曲和接觸強度，特別是彎曲強度很富裕。當轉矩超載1.2至2.3倍時才出現(xiàn)齒面接觸擠壓破壞。西安重型機械研究所也進行了鼓形齒聯(lián)軸器性能試驗和工業(yè)性試驗[94]，通過測試在不同軸傾角和不同轉速下的承載能力和效率、溫升及檢測運行后的齒面磨損，得出鼓形齒聯(lián)軸器性能明顯優(yōu)于直齒聯(lián)軸器的結論。文獻[95]介紹了共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器齒面接觸試驗方法，但沒有得出明顯的嚙合接觸區(qū)域的試驗結果。到目前為止還未見到有關多齒接觸實驗的報告。
1.2.3 制造方面
鼓形齒聯(lián)軸器的加工質量直接影響它的運行特性。再好的理論設計，最終要通過加工來實現(xiàn)。鼓形齒聯(lián)軸器加工的核心問題是鼓形齒輪的加工。從工藝上來說，鼓形齒輪的加工最終要解決終了工序應保證有精確的齒面和高的齒面光潔度。對于硬齒面，最后可安排珩齒的工序（主要提高齒面光潔度）[96][97]，基本齒形在熱處理之前應有較好的保證。也就是說鼓形齒輪齒形的成形加工是關鍵。在工業(yè)發(fā)達國家，用多坐標數控滾齒機進行鼓形齒輪加工并非難事。就普通機床加工鼓形齒輪而言，主要有插齒法、銑齒法和滾齒法。
1.插齒法
插齒法是展成加工的方法，插刀作往復直線切削運動，同時與齒坯作展成運動。齒坯隨同夾具作進退的直線運動，以使插刀與該運動的復合為一鼓度曲線的曲線運動。切削過程中由于主切削運動方向的改變，刀具的切削前角和后角不斷變化，在大鼓度量情況下，此變化值很大。在刀具設計時將不可避免地要以喪失一部分有利的切削角度和刀具強度為代價換取可加工性。插齒加工方法還必須具備相應的機床改裝，以適應刀具與工件間的運動，此改裝較為困難。但是插齒法由于它加工出的齒形無理論誤差，齒面齒形精度高，在國外有運用的例子[98]。
2.銑齒法
銑齒法是一種仿形加工方法[99][100]。該方法對于加工一段圓弧鼓形齒比較方便，只需在銑床上安裝圓盤工作臺和分度頭即可，無須專用的工藝裝置和機床改裝。但是由于不同變位下齒形不同，而銑刀不能適應這種變化，必然存在齒形誤差而使齒的接觸精度降低。分度精度直接影響齒輪的周節(jié)誤差。仿形法銑齒加工是逐個分度銑削齒槽，因此加工效率較低。此方法一般只適合于單件的精度要求不高的鼓形齒輪加工，對于非圓鼓度曲線鼓形齒輪的加工，仿形法同樣存在機床改裝復雜化問題。
3.滾齒法
滾齒法是迄今最常用的加工方法。它具有加工效率高、機床改裝較簡單、適合于使用普通齒輪滾刀加工等特點。在滾切加工中，除與滾直齒輪相同的運動外，增加工作臺的一個直線運動，該直線運動與滾刀刀架運動的復合即為鼓度曲線的軌跡。為使工作臺的運動滿足鼓度曲線的要求，通常要根據不同的鼓度曲線設計不同的仿形裝置，常見的有模板手動仿形裝置、偏心凸輪式液壓仿形裝置、電—液靠模裝置、電液伺服閥機構、微機控制的步進電機和隨動閥為控制執(zhí)行機構的裝置。數控化改造普通滾齒機加工鼓形齒輪越來越受到重視，成為鼓形齒輪加工的重要發(fā)展方向。
模板手動仿形加工是在機床工作臺與立柱之間安裝所需加工鼓形齒鼓度曲線的模板和百分表，由操作者根據百分表的指針偏擺，手動驅動工作臺進行加工。這種方法由于人工操作，因此，加工出的鼓形齒輪齒面較粗糙，鼓度曲線誤差大，而且操作不便。對于不同的產品，需要不同的模板。這是一種較原始的加工方法。
偏心凸輪式液壓仿形裝置是將滾刀架的直線運動用齒輪齒條機構轉變?yōu)橥馆喌霓D動，中間配以一組掛輪，根據不同的鼓度量計算出掛輪齒數，由凸輪推動隨動閥控制液壓油缸驅動工作臺[101]。由于采用偏心圓凸輪勻速轉動，位移曲線是正弦曲線而不是圓弧，因此加工的鼓度曲線為正弦曲線。文獻[102]介紹的為液壓靠模式仿形技術，對于不同的鼓度曲線，需采用相應的機械靠模，以液壓隨動機構進行驅動，這種加工方法，由于存在靠模制造誤差，質量不易控制，而且難于加工其他鼓度曲線的鼓形齒輪。
電—機靠模和電液伺服機構[103]與凸輪式不同之處在于它把靠模位移量變換為電信號傳給執(zhí)行機構，省去了機械傳動裝置，提高了傳動精度。
滾齒法加工中存在齒面不對稱誤差[104][105]。研究表明，滾齒加工出的鼓形齒以中截面為中間平面來看，上下左右齒面為反對稱，即左右齒面不對稱，齒面扭曲。對于大模數、大鼓度量鼓形齒輪，用多頭或小直徑滾刀加工，該誤差較嚴重。對于小鼓度量加工一般將其忽略。
在滾齒加工中還有一種配偶展成法[106][107]。它的加工原理是依外齒輪與內齒輪有偏角狀態(tài)下的嚙合進行展成加工的。該方法采用一特殊工藝裝置使鼓形齒坯作繞其中心的錐面運動，滾刀直線進給成為假想內齒輪齒面，包絡加工出鼓形齒輪齒面。用這種方法加工出來的鼓形齒輪在軸間傾角為加工時的夾角工作時，內外齒輪齒面是線接觸的共軛齒面，傳動比恒為1，不產生附加慣性轉矩，無干涉。但這種方法所使用的工藝裝置剛性較差，因此對于大尺寸的鼓形齒輪的加工較為困難。
采用多坐標數控滾齒機加工鼓形齒輪，加工精度較高。但由于設備昂貴，加工成本太高，因此國內尚不多見。
數控化改造普通滾齒加工鼓形齒輪具有廣闊前景[108-111]。它具有加工質量高、操作方便、產品適應性強、改造成本低、改造周期短等優(yōu)點。微型計算機的發(fā)展非常迅速，它的功能越來越強，而價格越來越低，即性能價格比不斷提高。文獻[109][110]介紹了兩軸開環(huán)控制的數控化改造技術，但由于滾齒機結構的限制，這種方法對于滾刀刀架的驅動不易實現(xiàn)，而且存在較復雜的加工編程，操作較復雜。我們開發(fā)出的似單片機為控制核心的準二軸開環(huán)控制數控系統(tǒng)，已成功地運用于中型滾齒機改造[108]，加工出了高質量的鼓形齒輪。
1.3 論文的主要工作
本論文在彈性共軛曲面原理和鼓形齒聯(lián)軸器理論分析、設計與制造兩大方面進行創(chuàng)造性的研究工作，取得了一些突破性成果，主要做了以下幾項工作。
1.彈性共軛曲面原理的研究，即彈性體成對幾何圖形及其運動間的內在聯(lián)系和相互轉換規(guī)律的基本理論的研究。正確推導出了彈性共軛曲面運動基本方程，并給出了彈性共軛曲面問題的一般求解方法，奠定了彈性共軛曲面原理的理論基礎。
2.運用彈性共軛曲面理論研究多齒嚙合的彈性共軛曲面求解方法和共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器內外齒輪的彈性共軛齒面求解方法。
3.鼓形齒聯(lián)軸器的機理分析。
4.鼓形齒聯(lián)軸器鼓度曲線優(yōu)化及齒輪參數優(yōu)化。
5.鼓形齒輪的數控加工。
6.鼓形齒聯(lián)軸器多齒接觸實驗。
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