第三章齒輪聯(lián)軸器剛度分析及測試
§3.1簡述
本章主要對齒輪聯(lián)軸器本身的靜動特性進行研究，由上一章齒輪聯(lián)軸器嚙合特點對齒輪聯(lián)軸器力學模型進行簡化，據(jù)此模型對齒輪聯(lián)軸器進行了力學分析，推導靜平衡方程，并在穩(wěn)態(tài)情況下對剛度進行線性化處理；用數(shù)值的方法對其附加力、附加力矩和齒輪聯(lián)軸器的剛度進行了計算。本章還推導了齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒面相對速度公式，推導了齒面間存在干磨擦情況下的靜平衡方程，計算了磨擦力對齒輪附加力，附加力矩的影響。為了驗證理論推導，設計了試驗裝置，對鼓形齒及直齒聯(lián)軸器附加力矩進行了試驗和測試，與理論計算結(jié)果進行了比較。
§3.2齒輪聯(lián)軸器剛度的定義
設齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)外齒輪發(fā)生相對轉(zhuǎn)角和徑向位稱（x0,y0,
0,ψ0,θ0）時，附加到內(nèi)外齒輪的力分別為Fx,Fy,F,Fψ,Fθ其中FX，F(xiàn)y為沿（x,y）軸方向的分力，F(xiàn),Fψ是繞（x,y）軸的彎矩，F(xiàn)θ是扭矩，一般說Fx,Fy,F,Fψ,Fθ是內(nèi)外齒輪相對位移（x,y,, ψ, θ）的函數(shù)，既：FH（x,y,, ψ, θ）其中H= x,y,, ψ, θ。其在靜態(tài)平衡位置（x0,y0,0,ψ0,θ0）處齒輪聯(lián)軸器剛度為：
由此可以定義齒輪聯(lián)軸器25個剛度系數(shù)。其寫成矩陣形式為：
[KLH]5×5其中L，H= x,y,, ψ, θ
其意義為：內(nèi)外齒在平衡位置（x0,y0,0,ψ0,θ0）外，由于L方向的微小位移，在H方向上增加的力。L=H為主剛度，L≠H為叉剛度。
上面的定義方法類似于軸承動剛度的定義，即在某一個平衡位置（x0,y0,0,ψ0,θ0）處定義齒輪聯(lián)軸器剛度，從面齒輪聯(lián)軸器剛度可簡化成如圖3.1所示的模型。從上面的分析可以看出，要求得齒輪聯(lián)軸器的剛度，首先必須對內(nèi)外齒輪進行受力分析，列出靜平衡方程FH（x,y,, ψ, θ）。
§3.3 靜平衡方程的前置預處理和基本假設
§3.3.1 齒輪聯(lián)軸器模型與外齒輪模型的區(qū)別
外齒輪嚙合和齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合區(qū)別如圖3.2a、3.2b。其外齒輪在傳動過程中其嚙俁線僅有一條且與兩個外齒輪相內(nèi)爭，而齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合具有多齒接觸的特點，它嚙合線不只一條，其方向沿整個圓周方向并不一致。
§3.3 靜平衡方程的前置預處理和基本假設
§3.3.1 齒輪聯(lián)軸器模型與外齒輪模型的區(qū)別
外齒輪嚙合和齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合區(qū)別如圖3.2a、3.2b。其外齒輪在傳動過程中其嚙俁線僅有一條且與兩個外齒輪相內(nèi)爭，而齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合具有多齒接觸的特點，它嚙合線不只一條，其方向沿整個圓周方向并不一致。
在以往對外齒輪模型簡化時主要采用兩種方法如圖3.3a、3.3b幾何模型和力學模型。在幾何耦合模型中，齒輪輪齒被視為剛體。假定：1.嚙合過程中輪齒始終保持接觸，不脫嚙。2.嚙合線方向保持不變。要滿足假設1，按兩齒輪接觸表面法向速度相等原則：
對式3.2兩邊積分可得到相應位移擾動關(guān)系：
從而得到彎扭之間的關(guān)系式。
但這種模型假設不適合處理齒輪聯(lián)軸器，因為采用這種剛體齒模型，當齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒發(fā)生微小位移時，齒輪聯(lián)軸器將從完全對中時的多齒接觸狀態(tài)，變?yōu)閱锡X接觸，其附加力將發(fā)生突變，使我們將無法在線性范圍內(nèi)對其進行討論，而且實際上由于齒的彈性，在內(nèi)外齒輪發(fā)生相對位移時附加到齒輪聯(lián)軸器的力并不是突然集中到某一個齒上，而是有一個變化的過程，因此我們應采用彈性齒模型。但它又不同于采用彈性齒的外齒輪力學模型，在外齒輪的力學模型中，將齒輪本體視為剛體，輪齒為彈性體，假定：1 、齒輪嚙合過程中始終保持接觸，不脫齒；2 、嚙合線方向保持不變。輪齒剛度簡化成沿嚙合線方向的彈簧如圖3.3b 所示，這是Lund 所采用的齒輪彎扭耦合模型，其位移協(xié)調(diào)關(guān)系如下：
( xl-x2)cosα+（y1-y2)sinα-r1θ1-r2θ2-(k1+k2)P=ε 3.4
其中α為嚙合線與x 軸的夾角，r1、r2為齒輪基圓半徑，x1、y1、x2、y2為橫向位移，θ1、θ2為扭轉(zhuǎn)角位移，k1、k2為二嚙合齒沿嚙合線方向的柔度，P為動態(tài)嚙合力，ε為嚙合誤差。式3.4 的前提是齒輪嚙合剛度不變，嚙合過程中不脫齒，嚙合線方向保持不變。
但齒輪聯(lián)軸器則不同，由于其多齒接觸的特點，不象外齒輪那樣具有一條嚙合線，而是有若干條嚙合線，方向各不相同，且每個齒對所提供有效嚙合剛度的大小和方向也不同，因此處理外齒輪方法并不適合齒輪聯(lián)軸器。因此我們在對齒輪聯(lián)軸器剛度�；瘯r，要根據(jù)其多齒接觸特點，選擇一個固定參考坐標系，將整個圓周上的所有齒對有效嚙合剛度（即該齒對接觸部分的嚙合剛度）折合到參考坐標系中，可以說齒輪聯(lián)軸器剛度�；膶嵸|(zhì)是一折合剛度。其剛度的大小與齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪原始相對位移（靜態(tài)位置）有很大關(guān)系，因為在不同內(nèi)外齒輪相對位移下，齒輪聯(lián)軸器承載的齒數(shù)及接觸位置將發(fā)生變化，每個齒對有效嚙合剛度的大小和在整個圓周的分布位置也將發(fā)生變化，從而影響折合剛度大小。因此我們在處理齒輪聯(lián)軸器模型時引入靜態(tài)平衡位置的概念，在靜平衡位置處對其剛度進行線性化處理，這是本文研究齒輪聯(lián)軸器剛度的主要思路。
從上面分析可知由于齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒嚙合的復雜性，使得對模型的處理要比處理外齒輪嚙合復雜的多。我們必須弄清齒輪聯(lián)軸器對的接觸狀態(tài)以及載荷分布特點，以便建立合理的力學模型。第二章已經(jīng)對接觸狀態(tài)進行分析，下面對齒的載荷分布進行討論。
§3.3.2 齒面載荷分布及齒輪聯(lián)軸器力學模型建立
目前對齒輪的載荷分布問題的理論研究大致可以歸納為以下4 種：
1 ．按ISO觀點對載荷的分布，假定載荷均勻分布于齒的接觸線上，由此求得由于支承系統(tǒng)和齒輪的變形所引起的載荷分布不均。
2 ．根據(jù)支承變形和齒輪變形的平衡條件建立微分方程用數(shù)值方法求解。
3 ．假定某種載荷的分布，用迭代的方法求解。
4 ．由兩接觸物體間接觸區(qū)離散點的變形，以線性規(guī)劃的單純形法為工具，用數(shù)值分析的方法，求解齒輪的載荷分布。
這些方法繁簡不同，優(yōu)劣個具，其中應用廣泛，考慮影響因素較為系統(tǒng)全面，但卻較復雜，其中忽略了材料的連續(xù)性和齒端面柔度較大因素的影響，將使計算結(jié)果是近似的。另外三種方法都是隨著計算機的廣泛應用而提出的較為精確的數(shù)值計算方法，使問題的解決更符合實際情況。
計算齒輪聯(lián)軸器的載荷分布理論模型很多：中島Is ］等人把齒輪聯(lián)軸器每個嚙合齒對�；癁橐粋�彈簧，而忽略因為內(nèi)外齒端面接觸造成內(nèi)外齒嚙合剛度下降的影響；文獻181 為了考慮齒輪本身周節(jié)誤差對載荷分布的影響，把齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒作為兩個矩形齒齒條處理，其實質(zhì)也是將內(nèi)外齒模化成一個彈簧：其上述兩種方法的優(yōu)點是模型簡單，可以較方便估計出齒輪聯(lián)軸器的主要承載齒對，但此方法不能計算每一對齒的載荷分布，且把每一對齒的剛度看成是不變的，即忽略齒對接觸面積不同其剛度變化的因素，因此這種方法過于簡單，對于齒輪聯(lián)軸器整體剛度的計算影響很大。日本的土居良規(guī)等人［' 41 在齒輪花鍵軸齒面載荷分布的計算中，把齒輪進行了片狀離散化處理；王秀琦［6l 等人把整個接觸齒面離散成若干個點；這兩種模型共同的特點是把內(nèi)外齒看成是若干剛度相等彈簧組成，同時忽略了材料的連續(xù)性，從而初步討論了載荷沿齒面方向的分布；但這兩種方法都沒有計入齒輪嚙合剛度的邊緣效應。
對于鼓形齒聯(lián)軸器來說，由于外齒輪是鼓形，內(nèi)齒輪的嚙合狀態(tài)比較復雜，齒面的接觸狀態(tài)及載荷分布也比較復雜，我們不可能得到齒面載荷的準確分布，只能對其進行近似的擬和。根據(jù)第二章的結(jié)論可知，在無載荷的狀態(tài)下,鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒齒面的等間隙圖曲線沿齒輪的軸向呈帶狀分布，沿齒高方向的間隙的變化梯度很小，其齒高方向間隙可以用相應分度圓上的間隙來代替。由此我們可以推斷，由于載荷的作用，齒發(fā)生彈性變形，如果某一對齒受載相互接觸，其首先在最小間隙附近齒對接觸，而且齒面接觸區(qū)域的形狀近似呈帶狀，其力在整個接觸區(qū)域內(nèi)的分布也近似為帶狀分布且沿齒高的方向上力的梯度小，可以看成是均勻分布，沿齒幅的方向上力的梯度大。為了對該載荷分布進行很好的擬合，參考ISO 對載荷的分布的處理方法以及上面所提到對齒聯(lián)軸器載荷分布的第二種模型，再結(jié)合第二章的結(jié)論，我們把鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒沿齒向離散成若干微元。本文對其齒對�；奶攸c是計及了齒輪聯(lián)軸器嚙合剛度的邊緣效應（內(nèi)外齒端面接觸時嚙合剛度較�。┖凸男瘟康纫蛩兀唧w�；椒ê突炯僭O如下：
把輪齒沿齒輪的軸向進行離散化，將其分割成M 微元，每一微元的寬度為bj，其中bj＝B / M , B 是齒的寬度，當分割微元的寬度很小時，其該微元齒面載荷的分布近似均勻，把齒面沿齒高方向的分布力等效到分度圓上為了簡化計算我們作以下假設：
1 ．假設外齒第j個微元在與內(nèi)齒接觸變形時，其變形量等效到分度圓輪廓的法向處理。
2 ．把每一個微元嚙合齒對看作是相互獨立互不影響的彈簧，忽略了材料的連續(xù)性，其方向沿分度圓外輪廓的法向。
3 ．齒的誤差、變形以及原始間隙都等效到分度圓上處理。
由上面簡化可以得到每齒對簡化的力學模型：如圖3.4 。所以我們可以用第j 個微元第i 個齒廓法向嚙合剛度kj與第j 微元第i 個齒對內(nèi)外齒沿分度圓齒廓法向相對變形δji,的乘積，即fji=kjδji來表示第j分微元第i個齒分度圓上受到的等效力fji。則用此數(shù)值方法可以方便計算出每個齒的載荷分布，其中fi=
,fi為載荷分配到第i個齒的分額。fji在j=1，2，3……M時表示第i個齒齒面沿軸向的分布，從而計算出整個齒輪聯(lián)軸器的受力情況。具體的計算由下節(jié)給出。
此方法的優(yōu)點：
1.可以記入齒輪沿齒向鼓形量和誤差。
2.與ISO模型和模型相比本文記入輪齒嚙合剛度在齒的邊緣較小因素的影響，引入剛度沿齒面分布系數(shù)（具體由下節(jié)計算）。
3.可以運用數(shù)值方法對聯(lián)軸器的附加力和力矩及齒輪聯(lián)軸器折合剛度進行求解。
本章所涉及的幾個坐標：
1）O—XYZ：是固定坐標系，O是內(nèi)外齒輪對中時內(nèi)外齒輪中心Z是齒輪聯(lián)軸器的軸向。
2）OK-XKYKZK：分別代表固定在內(nèi)外齒輪上的坐標，OK是內(nèi)外齒輪中心（k=N，w表示內(nèi)外齒輪）。
3）
:表示固結(jié)在第j個分割微無上的坐標，
是軸向第j個分割微元的中心（k=N,w表示內(nèi)外齒輪j=1,2……M）。
4）
:是固結(jié)在第j分割微元第i個齒上的旋轉(zhuǎn)坐標，
坐標是分度圓齒廓切線方向，
是齒廓法向方向，
是軸向第j個分割微元的中心（k=N,w表示內(nèi)外齒輪j=1,2……Nz）。
§3.4 齒輪聯(lián)軸器靜平衡方程
§3.4.1 齒對嚙合剛度及分布系數(shù)
由前面的處理和假設分布力等效到分度圓上，則單齒對嚙合剛度也是在分度圓上定義的，其定義如下：
使一對嚙合齒對在單位齒寬上、沿分度圓法向上、產(chǎn)生平均單位撓度所施加在分度圓齒廓法線方向的等效載荷。
具體計算時一般把單位齒寬上施加均勻的分布力等效到分度圓上、計算出單位齒寬的沿分度圓齒廓法線方向平均位移。設f 是施加在單位齒寬分度圓法向上的分布力，δ產(chǎn)生的平均位移，則該處單位齒齒寬的剛度為：
k=f/δ 3.5
因為在同一位置不同的載荷下有不同的剛度值，一般我們?nèi)讉�剛度的平均值。另外在齒的軸向不同的位置接觸時，齒所表現(xiàn)的剛度也不同，一般齒寬中央的剛度大而到兩端的剛度小，我們引入剛度系數(shù)ks，ks代表在齒寬不同的位置的單位齒寬的剛度與齒寬中央單位齒寬剛度的比值，是一個相對值，我們可以在齒寬方向上擬合出一條（ks---Bj）曲線。其中：Bj是齒寬方向的位置，ks=kj/k0,下一節(jié)我們用有限元法計算此值。
為了計及齒輪的邊緣效應，即一對齒在邊緣接觸時其嚙合剛度有下降的特性。我們采用彈性體三維有限無數(shù)值計算。
2）齒輪有限元網(wǎng)格和邊界的劃分
用有限無法計算齒輪的變形和應力的應用程序很多，理論也非常成熟，有專門有限元通用軟件。影響計算結(jié)果的主要原因有：邊界范圍的選擇，單元形式的選擇。為了減少計算是境和對計算機容量的要求，通常取一個齒輪為計算模型。
1）邊界范圍的選擇
對于外齒輪Daimler-Benz公司選取邊界的方法是先取半個齒輪進行有限無計算，這是從整體來考慮問題，然后根據(jù)計算的結(jié)果來選擇邊界的范圍，其所定的邊界寬度如圖3.5a，S1=6.1m，m是齒輪的模數(shù)。Chaber所取的邊界的方法是考慮圣維需原理，其所定的邊界深度為S2=1.5m。綜合以上兩者的研究，用有限無計算外齒的變形，計算模型的邊界范圍可取：
S1≥6.1m ,S2≥1.5m
其內(nèi)齒的邊界范圍如果齒圈的厚度很薄時為了記及齒圈的變形取半個齒輪，如圖3.5b所示：
2）邊界上各節(jié)點的約速條件
邊界上各節(jié)點的約速條件對計算結(jié)果影響也很大，具體的約速條件與齒輪的結(jié)構(gòu)有關(guān)，一般有：給定邊界節(jié)點的位移，給定邊界節(jié)點的載荷，自由邊界點。本計算中所選擇的邊界條件如圖3.5a所示，底面A側(cè)面B、C選擇為固定邊界其他面的邊界節(jié)點為自由邊界。內(nèi)齒輪選擇的邊界條件如圖3.5b所示
3）網(wǎng)格的劃分和單無類型的選擇
鼓形齒和內(nèi)齒的網(wǎng)格劃分，采用8節(jié)點的三維實體模型
4）節(jié)點載荷
根據(jù)上一章的結(jié)論齒寬方向間隙呈帶狀分布，在齒高方向變化梯度小我們可以推斷出在齒對受載變形時，其接觸區(qū)域的形狀也近似呈帶狀分布，且沿齒高方向接觸區(qū)域力的分布近似均勻，如果網(wǎng)格在軸向分割寬度很小時則力的分布近似為均勻。其把齒面的分布載荷等效到各個節(jié)點上載荷。
5）位稱和剛度分布系數(shù)計算
假設沿軸向?qū)X分割成M微元，每一分割微元寬度為bj包括個節(jié)點，通過三維彈性實體有限元程度計算出在分度圓上節(jié)點沿齒廓法線方向上的位移為δi，i=1，2，3，……L，則分度圓平均位移為：
,設等效到分度圓上的分布力為fj（單位Kg/mm），所以在bj處單位寬度所求得的等效剛度為：k
j=fj/
。設齒中央處等效剛度為ko，對kj值進行無量綱化即可以得到沿齒寬方向剛度分布系數(shù)ksj。
計算實例，聯(lián)軸器內(nèi)外尺參數(shù)：模數(shù)2.0mm；齒數(shù)：20齒；內(nèi)外齒寬分別為：15mm、15；壓力角為：20°:鼓形量為：96；內(nèi)齒圈外徑：60mm。分割成10個微元，則外齒輪內(nèi)齒輪沿齒寬方向的剛度分布圖3.6a、3.6b�？v坐標為剛度分布系數(shù)，其無量綱參數(shù)選則三種載荷下外齒中央處等效剛度的平均值：k0=1920kg/mm2(曲線1是fj=1.2kg/mm、2是fj=1.0kg/mm、3是fj=0.8kg/mm),橫坐標是齒寬無量綱值（元量綱參數(shù)為齒寬一半），內(nèi)外齒邊緣的剛度比齒寬中央剛度概小20%，內(nèi)外齒邊緣接觸時嚙合剛度要比齒寬中央嚙合剛度來得小。
kjW,kjN分別表示內(nèi)外齒輪對應第j微元的剛度，bwj=bNj 是分割微元的寬度；
k
sjw,k
sjN是齒輪中央處單位齒寬剛度的平均值，j=1,2,3……M。
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