第2章 齒輪故障振動(dòng)的研究
齒輪是機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的主要部件，它已被廣泛地應(yīng)用在旋轉(zhuǎn)機(jī)械及動(dòng)力傳輸裝置中。齒輪在進(jìn)行嚙合傳動(dòng)時(shí)，由于外載荷變化、齒輪加工誤差、齒輪嚙合剛度的時(shí)變性及嚙合沖擊等因素的影響，齒輪將產(chǎn)生振動(dòng)。齒輪在振動(dòng)時(shí)構(gòu)成一個(gè)線性時(shí)變或非線性時(shí)變系統(tǒng)。齒輪在傳動(dòng)過程中，隨著齒面磨損的擴(kuò)展，齒輪的齒形誤差、基節(jié)誤差和齒側(cè)間隙也將增加。齒輪齒側(cè)間隙對(duì)齒輪振動(dòng)特性影響的研究，國外起始于1967年K Nakamura的研究，主要利用數(shù)值仿真從時(shí)域分析研究了齒輪系統(tǒng)的振動(dòng)特性。近年來國外A Kahlarman等學(xué)者從頻域上研究了一定齒側(cè)間隙對(duì)齒輪幅頻特性的影響，并從實(shí)驗(yàn)上驗(yàn)證了當(dāng)存在齒輪側(cè)隙時(shí)，一個(gè)齒輪-傳動(dòng)軸-支撐軸承系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生亞諧和超諧共振。本章在建立齒輪振動(dòng)微分方程的基礎(chǔ)上，用變步長Runge-Kutta法求出了存在間隙時(shí)齒輪振動(dòng)的時(shí)程響應(yīng)的數(shù)值解，并用FFT方法求出時(shí)程響應(yīng)的幅值譜，對(duì)在非共振情況下齒輪側(cè)隙和載荷的變化對(duì)齒輪振動(dòng)頻率的影響進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明，齒側(cè)間隙的變化對(duì)齒輪的振動(dòng)故障頻率成份有很大的影響；齒側(cè)間隙的值一定時(shí)，如果齒輪的工作轉(zhuǎn)速和工作載荷發(fā)生改變時(shí)，齒輪的振動(dòng)故障頻率成份也有改變。該結(jié)果對(duì)齒輪的故障診斷和齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)有重要的意義。
此外，本章還對(duì)齒輪偏心質(zhì)量對(duì)齒輪扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響進(jìn)行了分析研究，并分析了頻譜特征。
2.1 齒輪振動(dòng)力學(xué)模型及嚙合力分析
設(shè)有一對(duì)齒輪傳動(dòng)，齒輪1為主動(dòng)齒輪，齒輪2為從動(dòng)齒輪，它們分別有一偏心質(zhì)量ml和m2，振動(dòng)力學(xué)模型見圖2-l。設(shè)主動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移、角速度、角加速度和旋轉(zhuǎn)角速度分別為
、
、
和ω1，從動(dòng)齒輪的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)角位移、角速度、角加速度和旋轉(zhuǎn)角速度分別為
、
、
和ω2，則有ω1=iω2(i為齒輪傳動(dòng)比）。
為了研究問題的方便，特作如下假設(shè)：
(l）齒輪的支撐軸又短又粗，近似為剛性軸，故不考慮其橫向振動(dòng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；
(2）滾動(dòng)軸承剛度較大，作為剛性支撐處理并忽略軸及軸承的阻尼。
作用在主、從動(dòng)齒輪的力矩分析如下：
（1）作用在主動(dòng)齒輪上的驅(qū)動(dòng)力矩T1（t）是常數(shù)，即T1（t）=C；而作用在從動(dòng)齒輪上的工作阻力矩T2（t）可看作一個(gè)恒量Tm與幅值為TaT簡(jiǎn)弦變量之和：
T2（t）=Tm+TaTsin（ωTt+фT） （2-1）
式中ωT、фT-分別為從動(dòng)齒輪上的工作阻力矩T2（t）變化圓頻率和初始相位角。
圖2-1中，rb1——主動(dòng)齒輪基圓半徑；rb2——從動(dòng)齒輪基圓半徑；K（t）——齒輪嚙合剛度；e1——主動(dòng)齒輪偏心距；e2——從動(dòng)齒輪偏心距；β1——主動(dòng)齒輪不平衡質(zhì)量的初始角度；β2——從動(dòng)齒輪不平衡質(zhì)量的初始角度；δ（t）——齒輪的綜合誤差；JD1——主動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；JD2——從動(dòng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；C（t）——齒輪阻尼系數(shù)；b——齒側(cè)間隙；n-n——齒輪嚙合線方向。
（2）作用在主、從動(dòng)齒輪間的動(dòng)態(tài)嚙合力及嚙合力矩
i）當(dāng)不考慮齒側(cè)間隙時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力：
Pn=K（t）[X-δ（t）] （2-2）
式中X=rb1tgθ1-rb2tgθ2為主、從動(dòng)齒輪間的相對(duì)振動(dòng)位移；K（t）為齒輪嚙合剛度，近似視為矩形波，可展為富氏級(jí)數(shù)：
式中：ε——重合度；ωmeh——齒輪嚙合頻率；Kn——齒輪剛度諧波項(xiàng)；K1——單對(duì)齒嚙合剛度；K2——兩對(duì)齒嚙合剛度；Ψn——齒輪剛度諧波項(xiàng)相位。
一對(duì)齒輪的綜合誤差δ（t）也可展為富氏級(jí)數(shù)：
式中：δn——齒輪誤差諧波系數(shù)；
——齒輪誤差諧波項(xiàng)相比；
嚙合力矩Pnrbi （i=1，2）
ii）當(dāng)考慮齒側(cè)間隙時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力：
Pn= K（t）f（rb1tgθ1- rb2tgθ2-δ（t））= K（t）f（t） （2-8）
其中f（t）為分段非線性函數(shù)，可表示為如下形式：
（3）阻尼力矩：
C（t）（
-
（t））rb1 （i=1，2）（不考慮齒側(cè)間隙） （2-10）
或C（t）f′（t）rb1 （i=1，2）（考慮齒側(cè)間隙） （2-11）
其中：齒輪阻尼系數(shù)C（t）=2
，mred——嚙合齒輪當(dāng)量質(zhì)量。阻尼比
根據(jù)圖2-2取值。阻尼系數(shù)C（t）也可根據(jù)下列公式取值：
式中：e——中間變量：V為齒面間相對(duì)滑動(dòng)速度。
（4）由不平衡質(zhì)量即偏心質(zhì)量造成的附加力（嚙合力方向）：
2.2 齒輪振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程
根據(jù)上節(jié)單級(jí)齒輪系統(tǒng)的受力分析，可得θ1、θ2兩自由度主從動(dòng)齒輪振動(dòng)微分方程：
式中
。很明顯，由于θ，
，
前面的系數(shù)和時(shí)變剛度K（t）、非線性函數(shù)f（t）及θ，
有關(guān)，不是常數(shù)，故方程組（2-14）是一個(gè)非線性時(shí)方程組。
2.3 方程數(shù)值解法及齒輪齒側(cè)間隙的振動(dòng)頻譜特征
當(dāng)不考慮偏心質(zhì)量，而只考慮存在齒輪齒側(cè)間隙時(shí)，方程組（2-14）可化為：
由于上式是一個(gè)非線性時(shí)變方程組，它的理論解無法得出，故采用數(shù)值解法求解。為了便于計(jì)算，將方程組（2-15）轉(zhuǎn)化到狀態(tài)空間中，將方程組表達(dá)成：
=fi（Z1，Z2，Z3，Z4），i=1，2，3，4，則原方程組可表達(dá)成：
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