求出共軛曲面各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值后，調(diào)用MATLAB繪圖命令就可以顯示共軛曲面的圖形，并通過編制的程序，還能夠以動(dòng)畫的形式演示兩曲面作共軛運(yùn)動(dòng)的過程。求得的共軛曲面及兩曲面作共軛運(yùn)動(dòng)的瞬間分別如圖3-3、圖3-4所示：
3.3.2 回轉(zhuǎn)曲面的共軛求解
回轉(zhuǎn)面是指一條曲線繞定軸回轉(zhuǎn)生成的曲面。它是機(jī)械設(shè)計(jì)和加工中常見的曲面，如銑刀，砂輪，軋鋼輥?zhàn)拥取?/p>
出于回轉(zhuǎn)面在垂直于回轉(zhuǎn)軸線的任何截面上所得曲線皆為圓，且圓心均在回轉(zhuǎn)軸線上，若繞軸線回轉(zhuǎn)的曲線無垂直于回轉(zhuǎn)軸線的切線，則回轉(zhuǎn)面上的任一點(diǎn)法線必過回轉(zhuǎn)軸線。這是因?yàn)閳A的切線與曲面的法線垂直，故曲線的任一點(diǎn)法線必在圓的法面上，即在過軸線的平面上，又繞軸線回轉(zhuǎn)的曲線切線與回轉(zhuǎn)軸不垂直，故任一點(diǎn)法線過軸線且不與軸線平行，所以必與軸線相交。
機(jī)械加工常用的盤狀、指狀砂輪和銑刀，以及軋鋼中的圓柱軋件，都是回轉(zhuǎn)面。他們的運(yùn)動(dòng)一般分為兩種，一種是已知曲面繞某一軸線作相對(duì)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（如圓柱軋件相對(duì)于軋鋼輥?zhàn)拥倪\(yùn)動(dòng)可以認(rèn)為是單純的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)），其包絡(luò)面是回轉(zhuǎn)面；一種是已知曲面繞某一軸線作相對(duì)螺旋運(yùn)動(dòng)（如銑刀相對(duì)于加工工件的運(yùn)動(dòng)），其包絡(luò)面是螺旋面。而回轉(zhuǎn)面和螺旋面，都可以由某一母曲線經(jīng)過相應(yīng)的回轉(zhuǎn)或螺旋運(yùn)動(dòng)得到。
根據(jù)以上分析，求已知回轉(zhuǎn)面的包絡(luò)面的過程可以分解為兩個(gè)步驟：首先，求出任一瞬時(shí)已知曲面與所求共軛曲面的瞬時(shí)接觸線；然后，把接觸線作為母曲線按未知曲面的運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)，這樣就可以得到已知曲面的包絡(luò)面，即它的共軛曲面。
基于以上回轉(zhuǎn)面共軛求解的基本思路和本文提出的數(shù)字化共軛曲面求解原理與編程方法，作者開發(fā)出了數(shù)字化共軛曲面求解的專用軟件，它不僅能夠?qū)崿F(xiàn)解析和數(shù)字化的回轉(zhuǎn)曲面的共軛求解，能夠適應(yīng)多種曲面，而且求解過程簡(jiǎn)單而迅速。共軛曲面求解中繁雜的公式推導(dǎo)和大量的計(jì)算，都出軟件在后臺(tái)實(shí)現(xiàn)。
3.3.2.1 軋輥曲面的數(shù)字化求解
（1）軋件與軋輥的共軛運(yùn)動(dòng)
如圖3-5，軋輥軸線z2豎直放置，軋件軸線為z1，兩者交錯(cuò)成θ角度，垂直距離為d0，軋件半徑為r0。在軋制過程中軋輥是轉(zhuǎn)動(dòng)的，現(xiàn)在假設(shè)軋輥不轉(zhuǎn)，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理，則軋件就以軋輥軸線為軸作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，若軋件同時(shí)繞自身軸線回轉(zhuǎn)，則軋件的相對(duì)運(yùn)動(dòng)包括自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。以軋件為已知曲面Σ1，它與坐標(biāo)系S1固連，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω1，Σ1上的各點(diǎn)在S1中的用規(guī)則矩陣表示為X1(1),Y1(1),Z1(1)；以軋輥為所求的共軛曲面Σ2，它與坐標(biāo)系S2固連，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為ω2，則軋件的運(yùn)動(dòng)可以用矩陣變換的形式表示為：
式中，三維數(shù)組Xmat(u,v,t)，Ymat(u,v,t)，Zmat(u,v,t)表示軋件曲面在軋輥?zhàn)鴺?biāo)系S2中運(yùn)動(dòng)形成的曲面族。利用數(shù)字化共軛曲面的求解步驟，即可完成軋輥曲面的求解。為使求解簡(jiǎn)化，可充分利用回轉(zhuǎn)曲面的特殊性，即繞自身轉(zhuǎn)動(dòng)后的回轉(zhuǎn)曲面還是原回轉(zhuǎn)曲面；無論對(duì)于共軛曲面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是轉(zhuǎn)動(dòng)還是螺旋運(yùn)動(dòng)，兩曲面接觸線的形狀是不變的。那么，我們可以取t值為一個(gè)合適的范圍，得到兩曲面完整的接觸線，然后使接觸線按照與兩曲面相對(duì)運(yùn)動(dòng)相同的運(yùn)動(dòng)過程運(yùn)動(dòng)，得到的曲線族就是所求的共軛曲面。這樣，既減少了計(jì)算量，同時(shí)又避免了出現(xiàn)“一對(duì)多”映射時(shí)將t分段造成的各個(gè)共軛曲面片銜接困難的問題。
求出接觸線后，使接觸線按照兩曲面運(yùn)動(dòng)關(guān)系運(yùn)動(dòng)，所得到的曲線族就是所求的共軛曲面，也即軋輥曲面。
（2）軋輥面的數(shù)字化共軛求解
本文用VC++和MATLAB開發(fā)了一套共軛曲面求解軟件Conjugater1.0，它能夠進(jìn)行軋鋼輥?zhàn)忧�、銑刀加工面、直齒面以及鼓形齒面等的自動(dòng)求解和輔助設(shè)計(jì)。
應(yīng)用軟件Conjugater1.0求解軋輥曲面：已知軋件曲面是圓柱面，輸入表達(dá)式或各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值后，可以顯示其曲面形狀如圖3-6所示；根據(jù)各節(jié)點(diǎn)值以及輸入的運(yùn)動(dòng)和相對(duì)位置參數(shù)，進(jìn)行共軛曲面求解運(yùn)算，可以得到與已知曲面共軛的兩個(gè)曲面如圖3-7所示，這兩個(gè)曲面都滿足共軛條件的；根據(jù)實(shí)際需要，取與已知曲面外共軛的共軛曲面（如圖3-8），這就是滿足條件的軋輥曲面。
3.3.2.2 銑刀加工面的數(shù)字化求解
（1）銑刀與其加工面的共軛運(yùn)動(dòng)
與軋輥的求解相似，對(duì)于回轉(zhuǎn)型刀具，也可以先求出兩共軛曲面的接觸線，然后使接觸線按照兩曲面特定的運(yùn)動(dòng)關(guān)系運(yùn)動(dòng)，就得到要加工的曲面。刀具加工的曲面可以是回轉(zhuǎn)面，也可以是螺旋面。銑刀及其加工面如圖3-9所示。
設(shè)已知接觸線為C1，它可以由三個(gè)一維數(shù)組Xc1，Yc1，Zc1表示，螺旋運(yùn)動(dòng)的角速度為ω，軸向移動(dòng)速度為v，則由它生成的螺旋面可以用如下的坐標(biāo)變換表示為：
（2）銑刀加工面的數(shù)字化求解
借助于軟件Conjugater1.0求銑刀加工的過程與求解軋輥曲面的過程相同。輸入輸出界面和結(jié)果如圖3-10、圖3-11、圖3-12、圖3-13所示。最后得到如圖的兩個(gè)螺旋面，這兩個(gè)螺旋面都是滿足共軛條件的，圖3-12表示銑刀在工件實(shí)體的外圓加工所得的曲面，圖3-13表示銑刀在工件的內(nèi)壁加工所得的曲面。應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際情況選取。
3.4 小結(jié)
（1）本章充分利用MATLAB的計(jì)算特點(diǎn)來處理數(shù)字化共軛曲面的求解及仿真，用一維數(shù)組、二維數(shù)組、三維數(shù)組分別與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、曲面、曲面族相對(duì)應(yīng)；用坐標(biāo)分解的方法使MATLAB可以方便地處理三維曲面；
（2）提出了在三維數(shù)組中抽取出所需的一維數(shù)組的概念，使數(shù)據(jù)處理形象直觀；
（3）在計(jì)算過程中用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化的功能，大大降低了計(jì)算復(fù)雜程度；并且優(yōu)化所得的結(jié)果是點(diǎn)（uj,vk）在整個(gè)軌跡插值曲線中使ψ（uj，vk，t）=0的點(diǎn)，而不是在有限個(gè)已知的軌跡離散數(shù)據(jù)點(diǎn)中使ψ（uj，vk，t）為最小值的點(diǎn)，這樣就突破了有限個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的限制，最大限度地利用了已知信息，使計(jì)算結(jié)果更精確。
（4）本章利用自行開發(fā)的數(shù)字化共軛求解軟件，分別對(duì)任意數(shù)字曲面和回轉(zhuǎn)曲面問題進(jìn)行了數(shù)字化共軛求解計(jì)算，得到了滿意的計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了理論、模型算法和軟件的正確與可用性。
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