5 共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動嚙合特性分析
5.1 引言
前面研究了共軛曲面的數(shù)字化方法及其在數(shù)字齒面設(shè)計中的應(yīng)用,為實現(xiàn)數(shù)字化設(shè)計與加工、特別是鼓形齒輪的數(shù)字化設(shè)計與加工一體化奠定了基礎(chǔ)。
本章研究鼓形齒輪在一新型傳動裝置中的應(yīng)用---共軛鼓形齒聯(lián)軸器。主要討論共軛鼓形齒聯(lián)軸器鼓形齒輪齒面方程的建立,分析共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動的靜力學(xué)特性、動力學(xué)特性、接觸強度、彎曲強度與變形,研究該傳動的多齒嚙合狀態(tài)與性能。
5.2 共軛鼓形齒面方程的建立
要進(jìn)行共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合分析,必須首先創(chuàng)建共軛鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪齒面的幾何數(shù)學(xué)模型,也就是要建立內(nèi)外齒輪齒面的方程。
對于共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器,直齒內(nèi)齒輪齒面方程可直接給出,根據(jù)求解共軛齒面嚙合的運動學(xué)法,可求解出與直齒內(nèi)齒相共軛的外齒齒面方程。
5.2.1 坐標(biāo)系
坐標(biāo)系如圖5-1所示。
S1(0,x1,y1,z1)坐標(biāo)系,為與外齒輪固連的動坐標(biāo)系;z1軸與外齒輪軸線重合。
S10(0,x10,y10,z10)坐標(biāo)系,為過渡坐標(biāo)系;z10與z1軸重合;x10與x1夾角φ1為某瞬時外齒輪轉(zhuǎn)角。當(dāng)φ1=0時,S10系與S1坐標(biāo)系重合。
S20(0,x20,y20,z20)坐標(biāo)系,為靜坐標(biāo)系;z20軸與軸z2重合;x20軸與x2軸夾角φ2為某瞬時內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)角,當(dāng)φ2=0時,S20系與S2系重合。
四個坐標(biāo)系有共同的原點O,x10與x20軸線重合,z10與z20軸線夾角為兩齒輪軸線的軸交角θ(y10與y20軸線的夾角亦為θ)。
5.2.2 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系
坐標(biāo)的逆變換可由它們的逆矩陣導(dǎo)出。
5.2.3 內(nèi)齒輪齒面方程
內(nèi)齒輪輪齒為直齒,其端面齒形及坐標(biāo)關(guān)系如圖5-2所示。設(shè)端面齒廓線為漸開線,xc2坐標(biāo)通過漸開線在基圓上的起點,在(o,xc2,yc2,zc2)坐標(biāo)下的齒面方程為
式中,φ2、t2——齒面參變量,rb——漸開線基圓半徑。設(shè)a2為齒面某一點k處的壓力角,則有φ2=tana2。
將(5-1)式轉(zhuǎn)換到S2坐標(biāo)系上,得
將(5-2)式轉(zhuǎn)換到S20坐標(biāo)系上,得
式中,β2——內(nèi)齒輪基圓齒槽寬所對圓心角之半。
式中,α——分度圓壓力角
Z——齒輪齒數(shù);
xr2——內(nèi)齒徑向變位系數(shù);
xτ2——內(nèi)齒切向變位系數(shù)。
式(5-3)就是內(nèi)齒輪齒面在S20坐標(biāo)系中的齒面方程。
5.2.4 外齒輪齒面方程
根據(jù)求解共軛齒面的運動學(xué)法,外齒輪齒面方程為
式中,r1——外齒輪齒面方程;
r2——內(nèi)齒輪齒面方程;
f(ψ2,t2,φ2)=0——嚙合方程,由N·v12=0推導(dǎo)而來:
其中,
c1=cosφ1;s1=sinφ1
c2=cosφ2;s2=sinφ2。
cs=cosθ;ss=sinθ
在(0,x2,y2,z2)坐標(biāo)系上,內(nèi)齒輪齒面法向矢量的三個坐標(biāo)分量分別為
在(0,x2,y2,z2)坐標(biāo)系,相對速度的三個坐標(biāo)分量為
將(5-5)式、(5-6)式代入N·v12=0,得
將(5-2)式代入(5-7)式,經(jīng)化簡得
式(5-8)即為嚙合方程。
在(0,x1,y1,z1)坐標(biāo)系下的外齒輪齒面方程為
式中,φ1、φ2——內(nèi)、外齒面的轉(zhuǎn)角。
令φ1=φ2=φ,將(5-2)式及由(5-8)式解出的t2代入(5-9)式,即可得到以ψ2、φ為參變量的外齒輪齒面方程:
為了嚙合分析方便,要給出在固定坐標(biāo)系下的接觸線方程,即嚙合面方程。在S20坐標(biāo)系下接觸線方程為
由f(ψ2,t2,φ2)=0,r2(ψ2,t2)還可給出內(nèi)齒輪齒面上的接觸線方程:
5.3 共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動力學(xué)特性分析
5.3.1 鼓形齒聯(lián)軸器傳動靜力學(xué)分析
為了研究鼓形齒聯(lián)軸器的傳動特性,以便設(shè)計、加工和優(yōu)化這種傳動裝置,必須知道該傳動件上傳動齒輪的工作載荷。傳動齒輪的工作載荷包括靜載和動載兩部分,所謂鼓形齒聯(lián)軸器傳動的靜力學(xué)分析,即暫不考慮傳動中的動載荷,僅按靜態(tài)情況對鼓形齒聯(lián)軸器傳動進(jìn)行受力分析和研究。
根據(jù)鼓形齒聯(lián)軸器嚙合分析,在不考慮彈性變形的剛性情況下,我們認(rèn)為,傳動齒輪沿接觸線上的法向載荷是均勻分布的,且傳動齒輪各接觸齒對受載相等;在考慮彈變形后,各接觸齒對上的瞬時載荷的大小和分布要發(fā)生變化,其變化情況與各接觸齒對在各瞬時的綜合剛度系數(shù)成正比。
由鼓形齒聯(lián)軸器多齒接觸試驗得知,當(dāng)鼓形齒聯(lián)軸器在傳動過程中,各接觸齒對的綜合剛度系數(shù)Ci是由小變大,再由大變小,即在嚙合區(qū)兩端剛度系數(shù)最小,在嚙合區(qū)中段的綜合剛度系數(shù)為最大Cmax。因為此處只需要知道各嚙合齒對在某瞬時綜合剛度的相對大小,且綜合剛度系數(shù)的數(shù)值都是用實測方法求得的,鑒于實驗條件,為方便起見,設(shè)Cmax為單位1,并假定其他各對嚙合齒的剛度系數(shù)整體副近橢圓分布規(guī)律,即
Ci=Cmax[1-(0.2i)2](i=0,1,2,…) (5-13)
式中i為接觸齒對號,其各接觸齒對所對應(yīng)的相對剛度系數(shù)如圖5-3所示。
在某瞬時,各嚙合齒對的綜合剛度系數(shù)之和即總體綜合剛度系數(shù),即
CΣi=ΣCi
當(dāng)不考慮齒輪基節(jié)和其他制造誤差時,剛度系數(shù)為Ci的那對齒所受的載荷
式(5-14)即為齒間載荷分配表達(dá)式,其中受載荷最大齒對的法向載荷
式中,F(xiàn)n——總額定扭矩Mn的等效法向載荷,即
齒面上法向力Fnimax在x、y、z三個方向的分量大小分別為
式中,n0——接觸齒面上的單位法線向量,即
式中,n——齒面上任意點k的法線向量,即
式中,φ——齒輪相對靜參考系的轉(zhuǎn)角;
ξ——基圓齒槽寬所對圓心角之半;
ψ——齒廓上任意點k的展角θk與壓力角αk之和;
φ2b——第i對齒基圓上的點與靜參考系間所夾的圓心角。其接觸線上任意點k處的受力狀態(tài)如圖5-4所示。
5.3.2 鼓形齒聯(lián)軸器傳動動力學(xué)分析
鼓形齒聯(lián)軸器傳動裝置實際上是一個彈性動力學(xué)系統(tǒng),它由鼓形外齒、漸開線內(nèi)齒、軸和軸上其他零件組成,對這樣一個結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行動力學(xué)分析是相當(dāng)復(fù)雜和困難的。為了分析方便,可將彈性系統(tǒng)分為兩部分,一是輪系部分,二是軸系部分。由于輪系輪齒的剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于軸的剛度,所以,就可以把二者分開,即當(dāng)分析軸的彈性變形所造成的齒輪扭轉(zhuǎn)振動時,可以認(rèn)為齒是剛性的;而在分析由于齒的彈性變形引起的動載荷時,就可不考慮軸及其它零件的彈性載荷,認(rèn)為傳入的轉(zhuǎn)距是常量。
5.3.2.1 鼓形齒聯(lián)軸器傳動的輪系固有頻率
一軸間傾角為θ的鼓形聯(lián)軸器,在傳遞載荷的過程中,一般有幾對齒處于接觸嚙合狀態(tài),此時由動力學(xué)基本定理,有
式中,I1,I2——鼓形外齒輪1和漸開線內(nèi)齒輪2的轉(zhuǎn)動慣量;
M1,M2——外、內(nèi)齒輪單位齒寬上的扭矩;
Fn——純翻轉(zhuǎn)位置處嚙合齒對單位齒寬上的法向載荷;
rp1、rp2——純翻轉(zhuǎn)位置處外、內(nèi)齒面上法向載荷等效集中力作用點P的徑向坐標(biāo)。當(dāng)鼓形齒聯(lián)軸器勻速轉(zhuǎn)動時,有
由(5-17)式,得
或
另一方面,當(dāng)考慮輪齒彈性變形后,嚙合齒對因沿接觸線的剛度發(fā)生變化,沿接觸線壓力分布處于非均勻狀態(tài),其分布規(guī)律為
Fnk=Ckδk (5-19)
式中,Ck——輪齒接觸線上點k處的剛度系數(shù);
δk——輪齒接觸線上點k的綜合變形。在等效點P處,則有
Fnp=Cpδp (5-19a)
如果在t=0的瞬時,由于干擾載荷的作用,輪齒的變形量增大△δ,則齒上的載荷也獎增加△Fn,當(dāng)轉(zhuǎn)矩M1、M2為定值時,由齒輪的平衡條件可知,齒輪的角速度ω將發(fā)生周期性變化,而載荷和變形也以同一頻率變化。由(5-17)式和(5-18)式,得
式中,
△Fn=Cp△δ (5-21)
由彈性嚙合原理可得,兩相嚙合的彈性齒輪連續(xù)嚙合運動的條件,即兩齒靠近的速度要等于它們變形增加的速度。根據(jù)兩嚙合彈性齒輪連續(xù)運動的條件,有
對上式兩邊微分,并利用(5-20)式、(5-21)式,可得鼓形齒輪聯(lián)軸器傳動的自振微分方程為
即
△δ+β2△δ=0 (5-23a)
式中,
式(5-23)是一個二階線性齊次微分方程,其一般解為
△δ(t)=Bcos(βt)+Csin(βt) (5-25)
式中,B、c——積分常數(shù),可由p點的初始條件確定。
設(shè)在初始時刻t=0時,△δ(0)=△δ0(初位移),△(0)=v0(初速度),則由(5-25)式,可求出。于是,動位移的表達(dá)式可寫為
在上述分析中,可以用旋轉(zhuǎn)矢量來描述鼓形齒聯(lián)軸器的動位移情況。旋轉(zhuǎn)矢量的模為振幅A,角速度為角頻率β,如圖5-5所示。
若用復(fù)數(shù)來表示,則
z=Aexp[j(βt+φ)]=Acos(βt+φ)+jAsin(βt+φ) (5-26)
式中,。復(fù)數(shù)z的實部和虛部可分別表示為
此時,動位移△δ可表示為
△δ(t)=Im Aexp[j(βt+φ)] (5-28)
其變化的速度和加速度分別為
用復(fù)指數(shù)形式描述這種諧振動,給運算帶來很大方便。因為復(fù)指數(shù)exp(jβt)對時間t求導(dǎo)一次,相當(dāng)于在其前面乘以jβ,而每乘一次j,就相當(dāng)于增加初位相角π/2。
輪系的固有頻率則為
f=fp=βp/(2π)=β/(2π)=(Cp/md)1/2/(2π) (5-31)
式中,md為輪系的當(dāng)量質(zhì)量。
以上對輪系即齒輪傳動的固有頻率進(jìn)行了分析,實際上,齒輪傳動的固有頻率還受許多因素的影響,如齒輪本體的輪緣、軸、齒面間的油膜厚度以及支承條件等。此處討論系的固有頻率,忽略了這些因素的影響,因此,上述輪系固有頻率的計算公式具有一定的條件性,其主要目的是為了本問題討論的系統(tǒng)性,以作定性分析和概念闡述。共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動的振動誘因主要來源于軸系,軸系固有頻率的研究是共軛鼓形齒聯(lián)軸器振動問題的重要組成部分和最具實用價值的內(nèi)容。
上一頁
下一頁