5.3.2.2 鼓形齒聯(lián)軸器傳動的軸系固有頻率
共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動裝置示意圖如圖5-6所示，其相應(yīng)的軸系力學(xué)模型如圖5-7所示，模型中自由端載荷P=G/2，G為聯(lián)軸器的重量。
在靜態(tài)下，由P所產(chǎn)生的靜撓度為
y0=-[Pa2(l+a)]/(3EI) （5-32）
即
p=3EIy0/[a2(l+a)]=ky0 （5-33）
式中，E為軸材料的彈性模量，I為軸的軸慣性矩，對于圓軸I=πD4/64，D為圓軸直徑；k為軸的靜剛度系數(shù)。
在動態(tài)情況下，設(shè)軸以轉(zhuǎn)速n轉(zhuǎn)動，其角速度為ω=nπ/30。由于漸開線內(nèi)齒輪和鼓形外齒輪間有徑向位移△y，因此，質(zhì)心C和轉(zhuǎn)動中心不重合，軸系在轉(zhuǎn)動過程中則產(chǎn)生離心力F，由此將發(fā)生動撓度yd，其位移簡圖如圖5-8所示。
軸系在轉(zhuǎn)動過程中產(chǎn)生的離心力大小為
F=mRω2=m(△y+yd)ω2 （5-34）
式中，m=P/g。
因?yàn)檩S在其材料彈性范圍內(nèi)工作，所以有
F=kyd=m(△y+yd)ω2 （5-35）
即
yd=mω2△y/(k-mω2)=△y/(k/mω2-1) （5-35a）
由式（5-35a）可知，令k/（mω2）-1=0，得到軸系的固有頻率為
ω0=(k/m)1/2=(g/y0)1/2 （5-36）
5.3.2.3 計算實(shí)例
一共軛鼓形齒聯(lián)軸器臺架試驗(yàn)裝置，漸開線內(nèi)齒輪和鼓形外齒輪間徑向位移△y=0.7mm，聯(lián)軸器的重量G=150N，兩支座間的軸間距離l=1500mm，聯(lián)軸器到支座間的距離a=150mm，軸的當(dāng)量直徑D=50mm，確定該聯(lián)軸器軸系固有頻率ω0及臨界轉(zhuǎn)速n0。
（1）軸系的固有頻率 根據(jù)式（5-36）及已知數(shù)據(jù)，可得
ω0=261rad/s
（2）臨界轉(zhuǎn)速
n0=60ω0/2π=2494r/min
通過對共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動系統(tǒng)的輪系和軸系分別進(jìn)行定性和定量分析，對其在傳動過程中的振動機(jī)理和系統(tǒng)的固有頻率有了更深的了解，并提出共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動的振動誘因主要來源于軸系的觀點(diǎn)。事實(shí)上，鼓形齒聯(lián)軸器傳動系統(tǒng)的振動機(jī)理與固有頻率受輪系與軸系的共同影響，但由于輪系剛度比軸系的彎曲剛度大得多，故輪系的固有頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出軸系的固有頻率，所以鼓形齒聯(lián)軸器在重載低速下工作時將遠(yuǎn)離輪系固有頻率，因此，輪系的固有頻率對傳動系統(tǒng)的性能和設(shè)計不會造成直接影響，而軸系的固有頻率則是傳動系統(tǒng)設(shè)計、減振與防御共振的主要依據(jù)。
對共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動裝置，應(yīng)避免在其軸系固有頻率附近工作，否則，將發(fā)生共振，從而，致使傳動系統(tǒng)噪音極劇增加，振幅迅速加大，若不采取措施，最終會導(dǎo)致傳動系統(tǒng)破壞。
共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動減振與共振防御的措施較多，常用的方法是改變齒輪傳動系統(tǒng)的固有頻率，如改變傳動系統(tǒng)輪系轉(zhuǎn)動質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量，改變傳動系統(tǒng)軸系的剛度，此外，也可以在傳動系統(tǒng)中采用被動的隔振、消振和降振措施�？傊曹椆男锡X聯(lián)軸器傳動的振動問題研究是一項(xiàng)具有理論和實(shí)際價值的工作，它的深入研究不僅有利于這種新型傳動件的優(yōu)化設(shè)計，對加工、制造技術(shù)和安裝使用都將起到重要指導(dǎo)作用。
5.3.3 鼓形齒聯(lián)軸器傳動的強(qiáng)度分析
5.3.3.1 接觸強(qiáng)度分析
在研究齒輪傳動的接觸應(yīng)力和形變時，到目前為止，傳統(tǒng)的方法就是利用線接觸的平行圓柱體代替某一具體嚙合位置的實(shí)際齒面，把該嚙合位置的齒廓曲率半徑當(dāng)做圓柱體的半徑。這種替換近似計算方法雖然有許多與實(shí)際情況不符之處，但迄今為止，在齒輪傳動的強(qiáng)度設(shè)計中仍采用這一方法計算接觸問題，即所謂赫茲公式。赫茲公式的應(yīng)用主要受到以下條件的限制：
（1）兩物體為均勻各向同性的彈性體；
（2）兩物體接觸面與物體表面相比是極微小的；
（3）作用力與接觸面垂直；
（4）加載后材料中的應(yīng)力不超過其比例極限；
（5）圓柱體為無限長。
這些限制條件對漸開線直齒圓柱齒輪傳動是基本適用的，然而，對鼓形齒聯(lián)軸器傳動則存在較大差異，即使是共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動的線接觸問題，傳動的不同軸性等因素，使得該傳動的接觸狀態(tài)與直齒圓柱齒輪傳動相差甚遠(yuǎn)。因此，鼓形齒聯(lián)軸器傳動的接觸強(qiáng)度問題不能簡單套用赫茲公式。通常采用數(shù)值計算方法進(jìn)行計算[93-102]，比較常用的數(shù)值計算方法是有限元法和邊界元法。
（1）接觸問題有限元法
對于共軛鼓形齒輪傳動的接觸問題，除了應(yīng)滿足彈性力學(xué)的一般控制方程外，在接觸面上還應(yīng)滿足接觸面力和接觸面位移邊界條件，即滿足力學(xué)平衡條件，法線方向上滿足位移非嵌入條件，且不計摩擦。在接觸有限元法的求解計算中，為了準(zhǔn)確描述接觸面各接觸點(diǎn)對的狀態(tài)，將其接觸狀態(tài)分別定義為連續(xù)狀態(tài)、滑動狀態(tài)和分離狀態(tài)，這樣可以定出不同狀態(tài)下的邊界條件關(guān)系式。將接觸點(diǎn)對不同接觸狀態(tài)下的邊界條件關(guān)系式用適當(dāng)?shù)南禂?shù)矩陣表示，接觸有限元矩陣形式的方程為
式中，
K、U、P、R——剛度矩陣、位移向量、載荷和接觸面力向量；
角標(biāo)Ⅰ、Ⅱ——相應(yīng)兩個接觸的相互共軛的鼓形外齒輪和直齒內(nèi)齒輪；
角標(biāo)C——對應(yīng)的接觸區(qū)域；
CⅠ、CⅡ——相應(yīng)齒輪的接觸點(diǎn)對位移協(xié)調(diào)條件的系數(shù)矩陣；
角標(biāo)T——對應(yīng)的非接觸區(qū)域；
ε0——位移常數(shù)矩陣；
DⅠ、DⅡ、D——接觸點(diǎn)對力學(xué)平衡條件的系數(shù)矩陣。
若用三角分解算法進(jìn)行分解消元運(yùn)算，使與接觸面有關(guān)的剛度矩陣變換成為單位矩陣，同時求出相應(yīng)的系數(shù)矩陣的改變DⅠ、DⅡ和載荷向量的改變PⅠ′、PⅠC、PⅡ′、PⅡC，則矩陣方程成為
式中，Ⅱ?yàn)閱挝痪仃嚒?/p>
由此可求出如下接觸面柔度方程
F{Rl}=-{SP}-{ε0} （5-39）
式中，F(xiàn)——接觸面柔度矩陣；
SP——載荷的接觸點(diǎn)對上產(chǎn)生的相對位移向量。
把接觸有限元剛度方程凝縮為僅與接觸面力有關(guān)的柔度方程，使得接觸問題的迭代運(yùn)算規(guī)模大大降低，且求解效率提高，能較方便地對共軛鼓形齒輪傳動這類三維復(fù)雜嚙合傳動進(jìn)行數(shù)值計算分析。
（2）接觸問題邊界元法
接觸邊界元是將接觸域內(nèi)任意點(diǎn)的位移與應(yīng)力值用邊界值即邊界單元的面力與位移來表示。其邊界元法的基本方程為
Uli=∫ΓPkUiK*dΓ+∫∫ΩbkUlK*Plk*dΓ （5-40）
式中，Uli——在i點(diǎn)第l個方向上的位移；
UlK*、PlK*——基本解。
將（5-40）式離散并用矩陣表示，則可得共軛鼓形齒輪傳動的接觸邊界元方程
HU=GT （5-41）
式中，H、G——3n×3n階的系數(shù)矩陣；
U、T——邊界節(jié)點(diǎn)的位移分量和接觸面力分量。
將（5-41）式中的未知量移到等式左邊，以x表示，將已知量移到等號右邊，以F表示，系數(shù)矩陣以A表示，則可得顯式形式的方程
Ax=F （5-42）
用高斯消去法求解線性方程組（5-42），便可求得所有邊界未知位移分量U和接觸面力分量T。
（3）接觸有限元與邊界元計算模型
對共軛鼓形齒輪的有限元網(wǎng)格劃分，采用平行加密法劃分，形成接觸分析粗網(wǎng)格，然后對接觸區(qū)作局部細(xì)分，求出接觸點(diǎn)對坐標(biāo)。
對共軛鼓形齒輪用邊界元法進(jìn)行接觸問題的研究與分析時，首先只需對邊界即齒廓表面進(jìn)行單元劃分，然后對每個嚙合點(diǎn)即接觸區(qū)進(jìn)行局部細(xì)分，不需像有限元法那樣，需從表到里將整個齒輪輪齒進(jìn)行劃分。
（4）計算實(shí)例
基于上述接觸問題的有限元與邊界元計算模型和前面的載荷分析，對一模數(shù)m=5mm、齒數(shù)Z=40、分度圓壓力角a=20°、分度圓直徑d=200mm、齒寬b=20mm、齒輪材料的彈性常數(shù)E=2.1×105N/mm2、泊松比μ=0.3、傳遞扭矩Mn=300N·m的共軛鼓形齒聯(lián)軸器鼓形齒輪Ⅰ進(jìn)行了接觸應(yīng)力計算，其簡圖如圖5-9所示。該問題接觸應(yīng)力的有限元與邊界元數(shù)值解和接觸應(yīng)力分布曲線分別如表5-1、圖5-10所示。曲線①（虛線）為接觸應(yīng)力的有限元解；曲線②（實(shí)線）為接觸應(yīng)力的邊界元解。
表5-1 接觸應(yīng)力的有限元邊界元數(shù)值解
| 齒高/mm |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
| 有限元解/(N/mm2) |
-1150 |
-970 |
-840 |
-650 |
-500 |
-320 |
| 邊界元解/(N/mm2) |
-1000 |
-925 |
-800 |
-650 |
-520 |
-370 |
由表5-1與圖5-10可得如下結(jié)論：
（1）接觸應(yīng)力的兩種數(shù)值解相當(dāng)接近，只是在開始進(jìn)入嚙合和脫離嚙合時有些差異。這主要是算法和計算模型差異所致，但接觸應(yīng)力的變化趨勢是一致的，且齒高中部附近接觸應(yīng)力的兩種解答完全一致。
（2）由于兩種解答的一致性，在研究輪齒齒廓接觸應(yīng)力時，易選用邊界元法，這樣，可減少前處理工作量，提高計算效率。
（3）輪齒在嚙合傳動接觸過程中，齒根處接觸應(yīng)力與彎曲應(yīng)力同時達(dá)到最大值。其原因主要是齒根部的剛度大于齒頂部，齒頂部的變形以彈性彎曲變形為主，齒根部則以接觸變形為主。
5.3.3.2 彎曲強(qiáng)度分析
鼓形齒聯(lián)軸器在傳遞載荷的過程中，其傳動齒輪的輪齒處于懸臂受彎工作狀態(tài)。為了保證聯(lián)軸器傳動齒輪在工作時不致發(fā)生斷齒現(xiàn)象，齒根的最大危險應(yīng)力必須低于極限值，為此，必須對鼓形齒聯(lián)軸器傳動進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計算。通常在一般齒輪彎曲強(qiáng)度設(shè)計計算中采用簡單平載面計算法和折載面計算法，這兩種方法的優(yōu)點(diǎn)是簡單直觀，易于操作，能基本滿足設(shè)計要求；其不足就是這兩種方法都是把輪齒簡化為一個懸臂梁的力學(xué)模型，應(yīng)用材料力學(xué)的理論來求解，顯然，這里存在誤差。因?yàn)椴牧狭W(xué)關(guān)于梁的理論，只適用于載荷作用點(diǎn)與支點(diǎn)的距離比梁的橫載面高度大得多的梁，亦即所謂淺梁的情況。但此處的輪齒受載力學(xué)模型則不滿足這種條件，它實(shí)際上是一個短而寬的懸臂梁，應(yīng)屬于深梁的范圍[103-110]。深梁的彎曲問題材料力學(xué)已無能為力，須用彈性力學(xué)理論求得解析解，例如可用復(fù)變函數(shù)解法，通過求解半無限大板邊界有齒形突起的模型錄求應(yīng)力解。但這種方法在工程設(shè)計中往往不夠現(xiàn)實(shí)，所以又出現(xiàn)了一種短寬懸臂梁的所謂半經(jīng)驗(yàn)解法，這種方法是純材料力學(xué)解法和彈性力學(xué)解法的一種折中方法，雖然從數(shù)學(xué)和力學(xué)的觀點(diǎn)來看不夠嚴(yán)密，但是與試驗(yàn)結(jié)果比較相符，因此，這種方法在很多齒輪傳動的彎曲強(qiáng)度分析和計算中受到廣泛采用[111-119]。對于鼓形齒聯(lián)軸器傳動的彎曲強(qiáng)度計算本文采用邊界元數(shù)值算法。
（1）彎曲強(qiáng)度的三維邊界元方法
邊界元法是從積分方程方法發(fā)展而來的，是繼有限差分法和有限元法之后的一種新的有效的數(shù)值分析方法。本節(jié)按照邊界積分方程直接法，從三維彈性問題基本微分方程和相應(yīng)的邊界條件出發(fā)，建立該三維問題的邊界積分方程，然后采用離散插值方案數(shù)值處理技術(shù)，化邊界積分方程為邊界元方程，最后在微機(jī)上對鼓形齒聯(lián)軸器嚙合時的彈性變形進(jìn)行三維邊界元計算分析。
（2）三維彈性問題的邊界積分方程
對于三維彈性問題，若以位移為其本未知量，則其基本微分方程和邊界條件可表示為
式中，Uk——某一方向位移矢量；
Uk,l——位移Uk對l方向求一階偏導(dǎo)；
Uk,lj——位移Uk對l和j求二階偏導(dǎo)；
——給定位移邊界SU上位移Ui的已知量；
nj——表面單位法矢分量；
Eijkl——彈性系數(shù)張量；
fi——體積力分量；
——給定面力邊界St上面力ti的已知量。
V——三維域；
X——三維域中任意點(diǎn)的坐標(biāo)列向量。
對于各向同性彈性體，根據(jù)物理關(guān)系可得彈性方程為
式中，σij——正應(yīng)力；
δij——克羅內(nèi)克定義符，且有
由此，基本方程和邊界條件（5-43）、（5-44）式可寫為
對于以上三維彈性問題的邊值問題，采用加權(quán)余量法可導(dǎo)出域內(nèi)位移的積分方程為
式中，
式（5-47）是區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的位移分量Uk（P）和邊界上的表面力分量ti、位移分量Ui之間的關(guān)系，其中Uski和tski分別為線彈性靜力問題的基本解和與基本解對應(yīng)的表面力。然而，我們所感興趣的則是邊界上的位移分量和表面力之間的關(guān)系。Q為域內(nèi)點(diǎn)，當(dāng)源點(diǎn)P出域內(nèi)趨于邊界點(diǎn)時，可導(dǎo)出邊界積分方程為
式中，Cki（P）是與P點(diǎn)處表面幾何特征有關(guān)的系數(shù)，一般地
對于三維光滑邊界，系數(shù)Cki（P）為三階方陣，即
（3）三維彈性問題邊界積分方程的數(shù)值解法
一般情況下，不可能應(yīng)用解析方法來解積分方程，而必須采用近似的數(shù)值解法。這里采用邊界元方法，邊界元法將區(qū)域的邊界分割n個邊界單元，整個邊界上的積分以n個邊界單元上的積分和表示，在本文中采用4～8節(jié)點(diǎn)的變節(jié)點(diǎn)等參元，當(dāng)只有四個角點(diǎn)時，即為線性元，有8個節(jié)點(diǎn)時為二次等參元。對于疏密過渡區(qū)可采用變節(jié)點(diǎn)單元，以適應(yīng)各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的需要，單元形式如圖5-11所示。
式中，ζia——單元的第i個節(jié)點(diǎn)的第a(a=1,2)個局部坐標(biāo)分量。單元內(nèi)任一點(diǎn)的整體坐標(biāo)、位移和面力可分別表示為
此處假定將整個邊界離散劃分為N個單元，將（5-52）式代入邊界積分方程（5-48）式，在不考慮體力情況下，可得離散后的邊界積分方程為
在上述n個邊界單元中，若將n1個單元的表面力分量和（n-n1）個單元的位移分量作為邊界條件給出，那么（5-53）式可進(jìn)一步改寫成
對于邊界上每一個節(jié)點(diǎn)均可建立三個線性代數(shù)方程，那么，對于n個節(jié)點(diǎn)，就可以形成一線性代數(shù)方程組，可以用以下形式表示：
HU=GT （5-54）
式中，H、G——3n×3n階的系數(shù)矩陣，其元素Hij為3×3階矩陣；
U、T——邊界單元節(jié)點(diǎn)的位移分量和表面力分量。
式（5-54）可寫為
將（5-54）式中未知邊界量U、T及相應(yīng)的系數(shù)歸并到方程左邊，已知量
及相應(yīng)的系數(shù)歸并到方程右邊，即可得到如下形式的方程：
Ax=F （5-55）
用高斯消去法求解線性方程組（5-55）式，便可求得所有邊界未知的位移分量U和表面力分量T。
在求出邊界節(jié)點(diǎn)的面力及位移后，由（5-47）式可求出域內(nèi)任一點(diǎn)i處的位移為
其幾何方程為
εij=（Ui,j+Uj,i）/2 （5-57）
物理方程為
將式（5-56）式代入（5-57）式，然后代入（5-58）式，即可得到區(qū)域內(nèi)應(yīng)力分量的表達(dá)式為
式中，
由于邊界面式離散化的，（5-59）式可寫成離散形式
至于邊界點(diǎn)的應(yīng)力計算，可以利用已經(jīng)求得的邊界單元的節(jié)點(diǎn)位移和面力，求出邊界單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力。
（4）彎曲強(qiáng)度的三維邊界元計算
基于上述分析，可采用三維邊界元法對鼓形齒聯(lián)軸器傳動的彎曲應(yīng)力與形變等進(jìn)行數(shù)值計算與分析，其內(nèi)外齒輪的三維邊界元計算模型分別如圖5-12、圖5-13所示。
5.4 共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動多齒嚙合分析
鼓形齒聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪在傳動過程中，受載之前，即不考慮彈性彎形的情況下，各齒對間的嚙合狀態(tài)可通過各齒對間工作側(cè)的最小間隙角βi進(jìn)行模擬；而受載后各嚙合齒對將分別產(chǎn)生彈性變形，為了補(bǔ)償輪齒變形后齒廓間可能產(chǎn)生的間隙，使內(nèi)外齒輪仍然保持連續(xù)傳動，以繼續(xù)傳遞載荷，主動輪輪體必然產(chǎn)生一個順其自身轉(zhuǎn)動方向的變形角ω。當(dāng)載荷增大時，各嚙合受載齒對的彈性變形也隨之增大，則變形角ω也必然隨之增加，因此，外載荷與鼓形齒聯(lián)軸器主動齒輪的變形角成正比，即變形角的大小反映了外載荷的大小。當(dāng)傳遞的載荷增大到使變形角大到一定程度時，就可以消除與理論嚙合齒對相鄰的非理論嚙合齒對齒廓間的最小間隙，從而，使該非理論嚙合齒對也承受部分傳動載荷而產(chǎn)生相應(yīng)的彈性變形。當(dāng)外載荷繼續(xù)增加，使變形角大到又可消除另外的非理論接觸齒對齒廓間最小間隙，使該齒對也參與嚙合，如此下去，就產(chǎn)生了理論接觸和非理論接觸的鼓形齒聯(lián)軸器的多齒嚙合問題。
5.4.1 理論嚙合接觸線分析
由（5-10）式和（5-12）式，通過計算，可以得到內(nèi)外齒輪嚙合齒面上接觸線坐標(biāo)，由計算出的坐標(biāo)值即可繪出接觸線圖形。計算式中對ψ的要求是：
ψf≤ψ≤ψa
式中，ψa=tanaa，ψf=tanaf；aa、af——內(nèi)齒輪齒頂和齒根壓力角。且
以m=3mm，Z=56，θ=1.5°，xr1=xr2=0，ha*=1，齒寬按需要取到足夠大為例計算，確定-90°≤φ≤270°區(qū)間的若干條接觸線。由建立的齒面方程可知，φ=0時，齒面處于純翻轉(zhuǎn)位置。由（5-60）式計算得aa=12.968°，af=24.866°。
通過計算，得到內(nèi)外齒輪齒面接觸線坐標(biāo)，表5-2給出部分坐標(biāo)值計算結(jié)果。圖5-16所示的為φ間隔2.5°時，內(nèi)外齒輪齒面轉(zhuǎn)過一圈所形成的齒面接觸線。
表5-2 外齒輪齒面接觸線坐標(biāo)
（m=3mm Z=56 a=20° θ=1.5° xr1=xr2=0 ha*=1）
| φ/（°） |
a1/（°） |
z1/mm |
x1/mm |
φ/（°） |
a1/（°） |
z1/mm |
x1/mm |
| -10.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
80.313
15.406
8.358
5.666
4.252 |
81.305
82.046
83.246
84.653
86.241 |
170.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-80.313
-15.406
-8.358
-5.666
-4.252 |
81.305
82.046
83.246
84.653
86.241 |
| 10.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
3.204
2.863
2.607
2.412
2.263 |
80.924
81.963
83.196
84.616
86.212 |
190.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-3.204
-2.863
-2.607
-2.412
-2.263 |
80.924
81.963
83.196
84.616
86.212 |
| 30.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
2.571
2.501
2.449
2.413
2.392 |
80.911
81.949
83.182
84.602
86.197 |
210.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-2.571
-2.501
-2.449
-2.413
-2.392 |
80.911
81.949
83.182
84.602
86.197 |
| 50.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
2.754
2.746
2.749
2.762
2.785 |
80.899
81.936
83.169
84.588
86.182 |
230.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-2.754
-2.746
-2.749
-2.762
2.785 |
80.899
81.936
83.169
84.588
86.182 |
| 70.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
3.009
3.029
3.058
3.096
3.142 |
80.888
81.925
83.157
84.576
86.170 |
250.0 |
12.968
15.785
18.526
21.181
23.745 |
-3.009
-3.029
-3.058
-3.096
-3.142 |
80.888
81.925
83.157
84.576
86.170 |
由圖5-15所示可知，φ在-90°～90°范圍變化時，從-90°到小于0°的某一角度范圍，內(nèi)外齒輪齒面無接觸線，此后，接觸線在內(nèi)外齒輪齒面中截面的右外側(cè)從外齒輪齒頂P1和內(nèi)齒輪齒根P2進(jìn)入，逐漸向齒寬中截面位置移動，在小于90°的某一角度結(jié)束，接觸線彎曲方向及傾斜方向如圖5-14所示。開始進(jìn)入接觸和最后脫離接觸的φ值由齒輪參數(shù)決定，φ在90°～270°范圍變化時，接觸線在內(nèi)外齒輪齒面中截面的左外側(cè)P2′、P1′嚙入，轉(zhuǎn)角位置與右外側(cè)嚙合對稱。內(nèi)外齒輪齒面左右兩則的接觸線分別呈以x1、x2坐標(biāo)軸為對稱的形狀。
5.4.2 多齒嚙合分析
5.4.2.1 多齒嚙合數(shù)學(xué)模型
根據(jù)以上分析，可建立鼓形齒聯(lián)軸器多齒嚙合問題數(shù)學(xué)模型如下：
式中，βi為第i對齒間對應(yīng)于齒面Ⅰ上點(diǎn)Q1(x1,y1,z1)處的間隙角（如圖5-15所示）；minβi為第i對齒間的最小間隙角；x1,y1,z1為與外齒輪Ⅰ固連的動座標(biāo)系S1下的座標(biāo)；x1c,y1c,z1c為與齒面Ⅰ上一點(diǎn)Q1相對應(yīng)的齒面Ⅱ上的點(diǎn)Q2的座標(biāo)在座標(biāo)系S1下的變換座標(biāo)；ωj為受載最大齒對的簡化集中載荷作用點(diǎn)處的切向彈性變形量，含內(nèi)外齒兩部分；γj為j點(diǎn)所在處的向徑大�。籲i為同時接觸齒對數(shù)。
5.4.2.2 實(shí)際嚙合齒對計算
本節(jié)第一部分在不考慮彈性變形的前提下，基于齒輪傳動幾何關(guān)系剛性嚙合原理之上的理論嚙合對數(shù)，在幾何參數(shù)為表5-3所示情況下，當(dāng)鼓形齒聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)過360°/Z角度的過程中，經(jīng)進(jìn)一步分析，其一嚙合區(qū)的理論接觸齒對在4對與5對之間變化，即整個聯(lián)軸器在傳動過程中，理論接觸齒對則在8對與10對間變動。將某齒對定義為1號齒對，且以該齒對理論上剛開始嚙合作為初始狀態(tài)開始轉(zhuǎn)動，在鼓形齒聯(lián)軸器轉(zhuǎn)過7°時，第5號齒對脫離嚙合，當(dāng)繼續(xù)轉(zhuǎn)動至360°/Z角度時，0號齒對開始進(jìn)入嚙合，這樣便完成一個周期。
表5-3 鼓形齒聯(lián)軸器幾何參數(shù)
| 參數(shù) |
內(nèi)齒數(shù) |
鼓形外齒輪 |
| 模數(shù)m |
3(mm) |
3(mm) |
| 齒數(shù)Z |
40 |
40 |
| 分度圓壓力角α |
20° |
20° |
| 分度圓直徑d |
120(mm) |
120(mm) |
| 齒頂圓直徑da |
115.2(mm) |
124.8(mm) |
| 齒根圓直徑df |
124.8(mm) |
113.7(mm) |
| 齒寬b |
30mm |
20mm |
| 工作傾角θ |
3° |
在實(shí)際受載輪齒變形后，其接觸齒對將發(fā)生變化。應(yīng)用三維彈性邊界元法求出鼓形齒聯(lián)軸器在實(shí)際工作受載后，其受載最大輪齒工作齒面上各嚙合點(diǎn)的彈性變形量以及相應(yīng)的變形角，從中并求得簡化載荷作用處的變形角ωj，其值分別為內(nèi)、外輪齒載荷作用處的變形角之代數(shù)和，即
ωj=ωjⅠ+ωjⅡ （5-62）
其中，外齒輪彈性變形的三維邊界元解答如表5-4所示（內(nèi)齒輪從略）。
表5-4 外齒輪彈性變形的三維邊界元解答（部分）
| 節(jié)點(diǎn) |
彈性變形量(mm) |
變形角（°） |
| NO |
U |
V |
W |
ωj |
| 1 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
| 2 |
-0.000175380 |
-0.000431121 |
0.000049957 |
0.000426817 |
| 3 |
-0.000374515 |
0.001251580 |
-0.000081436 |
0.001216990 |
| 4 |
-0.000614887 |
-0.003520113 |
-0.000147521 |
0.003363150 |
| 5 |
-0.000281512 |
-0.003161834 |
-0.000107730 |
0.002981080 |
| 6 |
-0.000094073 |
-0.002939400 |
0.000062302 |
0.002735390 |
| 7 |
0.000119509 |
-0.002584201 |
0.000089001 |
0.002374020 |
| 8 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
| 9 |
-0.000358453 |
-0.001366520 |
-0.000090823 |
0.001328820 |
| 10 |
-0.000295010 |
-0.003325547 |
-0.000120167 |
0.003135420 |
| 11 |
0.000116598 |
-0.002417326 |
0.000087937 |
0.002206900 |
| 12 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
0.000000000 |
| 13 |
-0.000200144 |
-0.000447580 |
0.000038178 |
0.000443054 |
| 14 |
-0.000394231 |
-0.001515470 |
-0.000079434 |
0.001473620 |
| 15 |
-0.000714289 |
-0.003701127 |
-0.00114053 |
0.003536080 |
| 16 |
-0.000312970 |
-0.003470020 |
-0.000114053 |
0.003271660 |
| 17 |
0.000110460 |
-0.003095265 |
-0.000010400 |
0.002880380 |
表5-4中節(jié)點(diǎn)編號詳見5.3節(jié)中邊界元計算模型。
由此，根據(jù)多齒接觸問題的數(shù)學(xué)模型（5-61）即可求得鼓形齒聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)360°/Z角度的過程中，各瞬時的實(shí)際接觸齒對情況，其實(shí)際接觸齒對狀態(tài)列表5-5所示
表5-5 實(shí)際接觸齒對狀態(tài)表
| 轉(zhuǎn)角φ |
齒對號 |
| 7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
-1 |
| 實(shí)際接觸狀態(tài) |
| 48.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 49.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 50.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 51.53 |
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 52.53 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
|
| 53.53 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 54.53 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 55.53 |
|
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 56.53 |
|
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
+ |
| 57.53 |
|
|
+ |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
注：“0”——表示理論接觸齒對；“+”——表示由變形出現(xiàn)的接觸齒對。
5.5 小結(jié)
本章根據(jù)共軛曲面理論和嚙合原理，創(chuàng)立了共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動理論和研究策略，主要取得了以下成果：
（1）推出了鼓形齒聯(lián)軸器輪齒接觸線及鼓形齒面方程；為后面的嚙合特性分析奠定了基礎(chǔ)；
（2）對鼓形齒聯(lián)軸器傳動的靜力學(xué)、動力學(xué)、接觸強(qiáng)度和彎曲強(qiáng)度等力學(xué)特性進(jìn)行了全面研究。在靜力學(xué)分析中，提出了在彈性狀態(tài)下，齒面載荷均勻分布和齒間載荷按各嚙合齒對瞬時綜合剛度正比分配的載荷分配模型，解決了在鼓形齒聯(lián)軸器設(shè)計、可靠性研究和多齒嚙合分析中的計算載荷問題。在動力學(xué)分析中，提出了將鼓形齒聯(lián)軸器傳動這一彈性動力學(xué)系統(tǒng)離散化的思想，并求解證實(shí)了共軛鼓形聯(lián)軸器傳動的振動誘因主要來源于軸系的觀點(diǎn)，為共軛鼓形齒聯(lián)軸器傳動的減振與防御提供了理論依據(jù)。在強(qiáng)度分析中，對其接觸與彎曲強(qiáng)度分別采用不同的數(shù)值方法進(jìn)行了對比研究，得到了一些有意義的結(jié)論，特別是數(shù)值計算模型和計算結(jié)果為多齒嚙合分析提供了理論支撐；
（3）提出了理論間隙角的概念，建立了最小間隙角的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并由此求得了共軛鼓形齒聯(lián)軸器在轉(zhuǎn)過一個齒距角的過程中不同時刻的最小間隙角的分布規(guī)律和理論接觸齒對數(shù)；
（4）提出了變形角的概念，構(gòu)建了共軛鼓形齒聯(lián)軸器多齒嚙合數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用三維彈性邊界元方法，對一鼓形齒聯(lián)軸器進(jìn)行了計算分析，求得了實(shí)際嚙合齒對數(shù)，并首次得到了該傳動裝置的一些有價值的結(jié)論。這些結(jié)論將對該傳動裝置今后的設(shè)計思想和設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生較大的影響。
上一頁
下一頁
