第3章 三環(huán)減速機(jī)均載機(jī)構(gòu)的研究
3.1引言
三環(huán)減速機(jī)的內(nèi)齒環(huán)板和外齒輪內(nèi)嚙合，由于互相嚙合的齒廓曲率同向，相對法曲率較小，從而增大了承載能力；內(nèi)齒環(huán)板和外齒輪相鄰的多對輪齒間的間距非常小，運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)由于變形而成為多齒嚙合。因此，三環(huán)減速機(jī)具有優(yōu)良的承載能力和過載能力。三片內(nèi)齒環(huán)板偏心之間呈180°相位角布置，實(shí)現(xiàn)了慣性力和慣性力偶矩的靜平衡和動(dòng)平衡，但是，由于不可避免的制造安裝誤差及傳遞功率時(shí)零件的變形，工作時(shí)各片內(nèi)齒環(huán)板之間的載荷分配不均勻，使輪齒發(fā)出噪聲、產(chǎn)生振動(dòng)，造成齒面點(diǎn)蝕、齒輪箱發(fā)熱、軸承損壞，甚至發(fā)生事故。針對上述問題，本文提出一種新型金屬彈性環(huán)作為均載裝置來實(shí)現(xiàn)三環(huán)減速機(jī)的均載和減振，并且對均載環(huán)的靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究。
3.2三環(huán)減速機(jī)的誤差和載荷分析
3.2.1三環(huán)減速機(jī)的制造安裝誤差分析
行星傳動(dòng)的均載問題一直是國內(nèi)外眾多學(xué)者普遍關(guān)注的學(xué)術(shù)焦點(diǎn)。均載分析、均載機(jī)構(gòu)的選擇和均載機(jī)理的探究首先應(yīng)該著眼于行星傳動(dòng)的制造安裝誤差分析和載荷分配分析。如果要減少或消除制造安裝誤差的影響，有效的方法是在結(jié)構(gòu)中加裝均載機(jī)構(gòu)，使行星傳動(dòng)在工作過程中各構(gòu)件之間能夠自動(dòng)補(bǔ)償誤差，從而達(dá)到均載和減振的目的。
三環(huán)減速機(jī)制造安裝誤差中影響載荷分配的主要因素是：偏心套偏心誤差Em、環(huán)板內(nèi)齒輪偏心誤差Er及輸出外齒輪偏心誤差Ew，由于軸承、傳動(dòng)軸以及齒輪的齒形、基節(jié)等的制造誤差相對于前面的幾項(xiàng)偏心誤差很小，故可忽略不計(jì)。
選擇不同的均載構(gòu)件，其等效中心誤差是不同的，本章選擇三環(huán)減速機(jī)的輸出外齒輪軸為均載構(gòu)件，等效中心誤差即為單個(gè)構(gòu)件的誤差換算到均載構(gòu)件上的誤差值。三環(huán)減速機(jī)的偏心套偏心誤差Em、環(huán)板內(nèi)齒輪偏心誤差Er及輸出外齒輪偏心誤差Ew等效到輸出外齒輪軸的等效中心誤差分別為ym、yr，和yw，下面簡要分析各種制造安裝誤差的影響：
制造安裝誤差等效到輸出外齒輪軸的徑向位移y為各等效中心誤差的矢量和，即：
分析制造安裝誤差與等效中心誤差的關(guān)系，可以得到：
式中α′——嚙合角。
實(shí)際上，影響總等效中心誤差的因素很多，例如構(gòu)件的溫度變形、彈性變形和軸承間隙等等。各等效中心誤差都為時(shí)間的周期函數(shù)，且其相位為等概率密度。故在任一時(shí)刻，它們不可能是同向的。等效到外齒輪軸的徑向位移y的最大值按文獻(xiàn)的最大浮動(dòng)量概率計(jì)算法為：
根據(jù)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)HITSH145的參數(shù)及誤差分析得：
偏心套偏心誤差為Em=0.030mm；
內(nèi)齒輪偏心誤差為Er=0.060mm（內(nèi)齒輪徑向跳動(dòng)公差之半）；
外齒輪偏心誤差為Ew=0.060mm（外齒輪徑向跳動(dòng)公差之半）；
所以，制造安裝誤差等效到外齒輪軸的徑向位移的最大值ymax=0.077mm。也就是說，所有零件在載荷作用下產(chǎn)生的變形與外齒輪軸支承上的彈性均載環(huán)受力變形之和，應(yīng)該能使外齒輪中心產(chǎn)生0.077mm的徑向位移。
3.2.2三環(huán)減速機(jī)的載荷分配分析
從理論上講，如果三環(huán)減速機(jī)三片內(nèi)齒環(huán)板之間的載荷分配均勻，則輸出軸上只有扭矩；而實(shí)際上，由于不可避免的制造安裝誤差及傳遞功率時(shí)零件的變形，工作時(shí)各片內(nèi)齒環(huán)板之間的載荷分配不均勻，則輸出軸上不但有扭矩，而且有徑向力存在。若某一塊環(huán)板有載荷增加量△Pn，則另外兩塊環(huán)板的載荷迭加將有減少量△Pn。
“功率分流”是三環(huán)減速機(jī)的顯著優(yōu)點(diǎn)，下面本章從三環(huán)減速機(jī)中的功率流動(dòng)來分析三環(huán)減速機(jī)的載荷分配。三環(huán)減速機(jī)中的功率流如圖3-l所示，假定內(nèi)齒環(huán)板載荷按嚙合線長度均勻分布，則在輸出軸上，我們有：
式中 P01，P02，P03——各相輸出功率，PO——三環(huán)減速機(jī)總輸出功率。
在輸入軸上，則有：
式中 Pi1，Pi2——兩根輸入軸上的輸入功率，Pi——三環(huán)減速機(jī)總輸入功率；
Pi11，Pi12，Pi13——根輸入軸上各相輸入功率；
Pi21，Pi22，Pi23——另一根輸入軸上各相輸入功率。
對于本文提出的三環(huán)減速機(jī)，由于是雙軸輸入，如果不計(jì)功率損失，由機(jī)構(gòu)功率平衡，則有：
由上述分析可知，當(dāng)三環(huán)減速機(jī)各相環(huán)板間載荷分配均勻時(shí)，減速機(jī)軸承載荷沒有波動(dòng)，工作平穩(wěn)；實(shí)際上，由于各相環(huán)板間載荷分配不可能均勻，因此功率流不是恒定的，其大小呈周期性變化，支承軸承的載荷也呈周期性變化，各相之間的載荷也在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，這也是三環(huán)減速機(jī)振動(dòng)產(chǎn)生的根源。因此有必要對三環(huán)減速機(jī)的均載機(jī)理和均載裝置作深入的研究。
3.3三環(huán)減速機(jī)載荷分配不均勻系數(shù)的確定
3.3.1 I-DEAS軟件及間隙元方法簡介
有限元方法（Finite Element Method-FEM) 是隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展而發(fā)展起來的一種新穎、有效的數(shù)值分析方法。有限元法在50年代起源于航空結(jié)構(gòu)中飛機(jī)結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析。結(jié)構(gòu)矩陣分析法認(rèn)為：整體結(jié)構(gòu)可以看作是由有限個(gè)力學(xué)小單元連接而成的組合體，可以首先對每個(gè)小單元的力學(xué)特性進(jìn)行分析，然后組合在一起就能得到整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性。
隨著有限元理論的發(fā)展和完善，各種大大小小的、專用的、通用的有限元結(jié)構(gòu)分析程序大量涌現(xiàn)，著名的大型通用程序有NASTRAN，ADINA，SAP，I-DEAS，ASKA等。美國SDRC公司的I-DEAS(Integrated Design Engineering Analysis Software）軟件是世界著名的CAD/CAM集成機(jī)械設(shè)計(jì)分析軟件，具有強(qiáng)大的圖形處理能力，是一個(gè)用于工程研究部門的功能完整的機(jī)械設(shè)計(jì)、分析系統(tǒng)，在工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域中享有很高的聲譽(yù)。其主要功能有：輔助設(shè)計(jì)、輔助分析、輔助機(jī)械制圖、輔助測試和輔助數(shù)控編程等。
間隙元是一種非協(xié)調(diào)元，或者說它是無結(jié)點(diǎn)的虛單元。在彈性嚙合的多點(diǎn)接觸問題中，在初始狀態(tài)，某些接觸面之間具有很小的間隙，沒有受載；而當(dāng)兩物體產(chǎn)生彈性變形后，此間隙可能消失，兩接觸面可能受載而產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變。而在初始狀態(tài)，卻無法確定非接觸面應(yīng)該添加的載荷大小及方向。而間隙元卻能很好的處理這個(gè)問題。
在I-DEAS中，間隙元是為防止兩接觸面產(chǎn)生相互嚙入干涉而定義的，如圖3-2所示，A、B分別為具有初始間隙的分離接觸面上的兩節(jié)點(diǎn)，把這兩節(jié)點(diǎn)用間隙元Gap連結(jié)起來。在I-DEAS中，間隙元主要有三個(gè)屬性，即初始間隙δ0、方位碼u、同軸標(biāo)志Flag，并且，這三個(gè)值是相互關(guān)聯(lián)的。初始間隙并非模型圖中兩節(jié)點(diǎn)之間的距離，而是由用戶給定的一個(gè)精確值，以避免建模誤差。方位碼指定間隙元的方向，具有從-6到＋6之間除O之外的的12個(gè)值，分別代表6個(gè)自由度的正負(fù)方向，即沿x、y、z軸的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)方向。同軸標(biāo)志取0或1，當(dāng)Flag＝0時(shí)，方位碼有效，間隙元沿某一指定坐標(biāo)方向；Flag=1時(shí)，方位碼無效，間隙元沿兩節(jié)點(diǎn)連線方向。在圖3-2中，設(shè)指定方位碼為沿u向，F(xiàn)lag=0，則當(dāng)uA-uB≤δ0時(shí)，認(rèn)為間隙元沒有閉合，接觸面間不會產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變。而一旦uA-uB＞δ0，則認(rèn)為間隙元已閉合，間隙元在指定方向?qū)⒕哂泻艽蟮膭偠龋ㄈ笔r(shí)系統(tǒng)一般取接觸面材料的三階），此時(shí)兩節(jié)點(diǎn)無法沿指定方向相互嵌入，而只能沿指定方向切向運(yùn)動(dòng)。如指定接觸面摩擦系數(shù)，閉合后的間隙元還將具有一定的橫向剛度，即沿切向摩擦阻尼產(chǎn)生的等效剛度。
3.3.2兩種三環(huán)減速機(jī)載荷分配不均勻系數(shù)的理論計(jì)算
衡量行星傳動(dòng)載荷分配性能的指標(biāo)是載荷分配不均勻系數(shù)，定義為：減速機(jī)中受載最大的行星輪所受的載荷與各行星輪理論平均受載的比值。對于三環(huán)減速機(jī)，其定義為：減速機(jī)中受載最大的內(nèi)齒環(huán)板所受的載荷與內(nèi)齒環(huán)板理論平均受載的比值。即：
式中 P1，P2，…Pn——各環(huán)板上所受載荷的平均值；
P1max，P2max，…Pnmax——各環(huán)板上所受載荷的最大值，括號前的Max是指取其中的最大值；
np——環(huán)板數(shù)。
由于環(huán)板齒根彎曲應(yīng)力與載荷成正比，故可用環(huán)板齒根彎曲應(yīng)力σ代替載荷p來確定載荷分配不均勻系數(shù)KP：
式中 σ1，σ2，…σn——各環(huán)板上齒根彎曲應(yīng)力的平均值；
σ1max，σ2max，…σnmax——各環(huán)板上齒根彎曲應(yīng)力的最大值，括號前的Max是指取其中的最大值；
np——環(huán)板數(shù)。
所以，如果能夠求得各個(gè)環(huán)板上的齒根彎曲應(yīng)力，則由公式（3-7）就可以得到這種減速機(jī)的載荷分配不均勻系數(shù)KP。
對于如圖3-3所示的具有n個(gè)內(nèi)齒環(huán)板的減速機(jī)有限元分析模型，本章運(yùn)用I-DEAS分析軟件，采用間隙單元法，在與工況一致的載荷和邊界條件下，分別求出各個(gè)環(huán)板上的主應(yīng)力的最大值和平均值，運(yùn)用公式（3-7）就可得到n環(huán)少齒差減速機(jī)的載荷分配不均勻系數(shù)KP。
下面分別求解兩種三環(huán)減速機(jī)的載荷分配不均勻系數(shù)。第一種三環(huán)減速機(jī)如圖3-4所示，中間環(huán)板與兩側(cè)環(huán)板的厚度b相同，它們的偏心之間的相位差為120°。減速機(jī)的傳動(dòng)技術(shù)參數(shù)如下：
z1=42，z2=44，m=3.5mm，ha*=0.8，c*=0.3，x1=1.14，x2=1.41，da1=159.26mm，df1=147.29mm，da2=157.67mm，df2=171.04mm，b=25mm。
由三環(huán)減速機(jī)傳動(dòng)可知，內(nèi)齒輪為主動(dòng)輪，外齒輪為從動(dòng)輪，因此邊界條件處理為約束內(nèi)齒輪副的徑向方向和約束外齒輪副周邊，載荷轉(zhuǎn)矩施加在外齒輪切線方向上。它的有限元分析模型如圖3-5所示，根據(jù)內(nèi)、外齒輪的結(jié)構(gòu)，設(shè)置單元類型、大小及材料特性，輪齒嚙合屬于平面應(yīng)力問題，選取四邊點(diǎn)單元進(jìn)行分析計(jì)算，四邊點(diǎn)單元節(jié)點(diǎn)厚度取為相應(yīng)環(huán)板厚度。選取單元長度為0.4mm，由Meshing模塊共生成四邊形單元13156個(gè)，節(jié)點(diǎn)13851個(gè)。運(yùn)用I-DEAS軟件，根據(jù)3.2.1的誤差分析，將徑向等效中心誤差轉(zhuǎn)化為輪齒間的周向誤差，通過選取不同的間隙單元特性，施加在不同的節(jié)點(diǎn)上，改變內(nèi)、外齒輪的嚙合位置，模擬內(nèi)、外齒輪嚙合的各個(gè)工況。建立約束集和解集，運(yùn)用Model Solution模塊求得環(huán)板應(yīng)力。各個(gè)工況的三片環(huán)板的平均齒根彎曲應(yīng)力即為環(huán)板齒根彎曲應(yīng)力的平均值：所有工況中最大的齒根彎曲應(yīng)力即為環(huán)板齒根彎曲應(yīng)力的最大值，求得的結(jié)果如下：
σ1=58.4MPa
σ2=61.2MPa
σ3=56.6MPa
σmax=92MPa
所以可以求得：KP=1.566。
第二種三環(huán)減速機(jī)如圖3-6所示，中間環(huán)板與兩側(cè)環(huán)板偏心之間的相位差為180°，中間環(huán)板的厚度b1為兩側(cè)環(huán)板厚度b2的兩倍。減速機(jī)的傳動(dòng)技術(shù)參數(shù)如下：
z1=42，z2=44，m=3.5mm，ha*=0.8，c*=0.3，x1=1.14，x2=1.41，da1=159.26mm，df1=147.29mm，da2=157.67mm，df2=171.04mm，b1=38mm，b2=19mm。
第二種三環(huán)減速機(jī)的兩塊兩側(cè)環(huán)板的內(nèi)齒輪是同時(shí)插齒的，環(huán)板上的的偏心套是同時(shí)精車、鏜孔和銑鍵槽后截?cái)嗟模贿@樣它們之間完全相同，把它們合為一塊，厚度b2*=2b2=38mm，按照平面應(yīng)力問題求解，它的有限元分析模型如圖3-7所示。和第一種三環(huán)減速機(jī)施加相同的載荷，取為相同的邊界條件，根據(jù)內(nèi)、外齒輪的結(jié)構(gòu)，設(shè)置單元類型、大小及材料特性，選取四邊形單元、單位長度為0.4mm，由Meshing模塊共生成四邊形單元10503個(gè)，節(jié)點(diǎn)11066個(gè)。運(yùn)用I-DEAS軟件，根據(jù)3.2.1的誤差分析，將徑向等效中心誤差轉(zhuǎn)化為輪齒間的周向誤差，通過選取不同的間隙單元特性，施加在不同的節(jié)點(diǎn)上，改變內(nèi)、外齒輪的嚙合位置，模擬內(nèi)、外齒輪嚙合的各個(gè)工況。建立約束集和解集，運(yùn)用Model Solution模塊求得環(huán)板應(yīng)力。各個(gè)工況的兩塊環(huán)板的平均齒根彎曲應(yīng)力即為環(huán)板齒根彎曲應(yīng)力的平均值，所有工況中的最大齒根彎曲應(yīng)力即為環(huán)板齒根彎曲應(yīng)力的最大值，求得的結(jié)果如下：
σ1=56.4MPa
σ2=52.5MPa
σmax=73.2MPa
所以可以求得：KP=1.344。
眾所周知，在行星傳動(dòng)中，載荷分配不均勻系數(shù)KP越小，則該種傳動(dòng)的載荷分配性能越佳。否則載荷分配不均勻系數(shù)KP越大，則該種傳動(dòng)的載荷分配性能越差。本章提出了一種利用有限元方法一間隙單元法計(jì)算三環(huán)減速機(jī)載荷分配不均勻系數(shù)KP的方法，通過對兩種三環(huán)減速機(jī)實(shí)例計(jì)算載荷分配不均勻系數(shù)可以得到，第二種三環(huán)減速機(jī)（環(huán)板之間相位差為180°）不僅實(shí)現(xiàn)了慣性力和慣性力偶矩的動(dòng)平衡，而且在同樣的制造安裝誤差下，它的載荷分配不均勻系數(shù)比第一種三環(huán)減速機(jī)（環(huán)板之間相位差為120°）小。也就是說：在載荷分配上，它優(yōu)越于第一種三環(huán)減速機(jī)。
3.4三環(huán)減速機(jī)均載機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)
3.4.1三環(huán)減速機(jī)的均載原理
對于三環(huán)減速機(jī)來說，因三片內(nèi)齒環(huán)板受力大，質(zhì)量大，環(huán)板中心移動(dòng)量小，可以利用本文提出金屬彈性環(huán)作為均載機(jī)構(gòu)，彈性均載環(huán)加裝在輸出軸和一級輸入軸上的軸承外圈和軸承座孔之間，彈性均載環(huán)結(jié)構(gòu)如圖3-8所示。a)為整體結(jié)構(gòu)，b）為局部結(jié)構(gòu)。輸出軸均載環(huán)9加裝在三環(huán)減速機(jī)的輸出軸2的軸承外圈和軸承座孔之間，輸入軸均載環(huán)10加裝在三環(huán)減速機(jī)的一級輸入軸8的軸承外圈和軸承座孔之間，彈性環(huán)的變形使輸出軸和一級輸入軸上的外齒輪浮動(dòng)，補(bǔ)償制造安裝誤差和傳動(dòng)變形，從而可以實(shí)現(xiàn)三環(huán)減速機(jī)的均載和減振。
金屬均載環(huán)可以制成整體式或沿軸向分成幾段，在安裝均載環(huán)時(shí)使其上的凸臺均勻錯(cuò)位，能夠更好地改善軸承及整個(gè)三環(huán)減速機(jī)的受力狀況。采用均載環(huán)彈性支承時(shí)，其外凸臺與箱體接觸，內(nèi)凸臺套在輸出（入）軸支承軸承外圈上，均載環(huán)應(yīng)有適宜的剛度和足夠的強(qiáng)度。從均載性能上來看，三環(huán)減速機(jī)的輸出（入）軸支承端采用滾動(dòng)軸承，外阻非常小，如果采用彈性支承，則彈性支承的應(yīng)變是交變的，所以，彈性均載環(huán)可以使三環(huán)減速機(jī)的內(nèi)齒環(huán)板和輸出齒輪均載。另外從降低輸出（入）軸的振動(dòng)來看，彈性均載環(huán)的支承剛度較低，支承的位移變大，其阻力也變大，所以，彈性均載環(huán)可以使輸出（入）軸減振。三環(huán)減速機(jī)采用金屬均載環(huán)作為支承，其剛性相對于輸出（入）軸來說是非常低的，可以忽略不計(jì)，這種彈性支承稱為低剛性彈性支承。三環(huán)減速機(jī)工作時(shí)輸出（入）軸近似于絕對剛性。
高速負(fù)載時(shí)，三環(huán)減速機(jī)的三片內(nèi)齒環(huán)板受力不均勻，在三環(huán)減速機(jī)輸出（入）軸兩端采用彈性支承后，由于彈性均載環(huán)的彈性均載作用，可以使三個(gè)環(huán)板的受力趨向均衡，并且始終使三個(gè)環(huán)板自動(dòng)調(diào)整受力并趨向同一值，從而實(shí)現(xiàn)三環(huán)減速機(jī)的均載；在滿足強(qiáng)度要求的條件下，低剛性均載環(huán)不會削弱輸出（入）軸系統(tǒng)本身的剛性，同時(shí)輸出（入）軸系統(tǒng)的振幅和傳給軸承的載荷均較小，改善軸承工作條件并減小三環(huán)減速機(jī)振動(dòng)，使三個(gè)環(huán)板受力均勻。
3.4.2三環(huán)減速機(jī)均載機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)
根據(jù)彈性均載環(huán)的外凸臺數(shù)或內(nèi)凸臺數(shù)可將這種低剛性彈性支承分為兩類，一類凸臺數(shù)為n=4m+4，另一類凸臺數(shù)為n=4m+2，m可為任意自然數(shù)。對于圖3-9，m=2；對于圖3-10，m=l。
相鄰兩凸臺之間有一段間隙，其間有潤滑油。內(nèi)、外凸臺與其配合面間不應(yīng)有相對滑動(dòng)，否則相對滑動(dòng)會使凸臺迅速磨損，使彈性支承失效。彈性均載環(huán)的作用主要是通過它的變形來補(bǔ)償三環(huán)減速機(jī)的制造和安裝誤差，使三環(huán)減速機(jī)達(dá)到均載和減振，因此彈性均載環(huán)的精確設(shè)計(jì)和計(jì)算具有重要的意義。
本章選用n=4m+4型的彈性均載環(huán)，且m=1，即是內(nèi)、外表面分別均勻分布八個(gè)凸臺的輸出軸、輸入軸彈性均載環(huán)，輸出軸彈性均載環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖3-11所示，輸入軸彈性均載環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖3-12所示，其幾何、材料特性參數(shù)如表3-11所示，輸入軸彈性均載環(huán)的結(jié)構(gòu)如圖3-12所示，其幾何、材料特性參數(shù)如表3-1所示：
表3-1 彈性均載環(huán)的幾何、材料特性參數(shù)
| 項(xiàng)目 |
輸出軸均載環(huán) |
輸入軸均載環(huán) |
環(huán)平均直徑ф
環(huán)厚度T1
環(huán)承載寬度W1
凸臺寬度T2
凸臺厚度T2
彈性模量E
泊松比γ
材料 |
102mm
2mm
21mm
5mm
0.4mm
2.06×1011N/m2
0.3
55Si2Mn |
52.5mm
2mm
14mm
2.5mm
0.4mm
2.06×1011N/m2
0.3
55Si2Mn |
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