3.5彈性均載環(huán)靜力學(xué)分析
3.5.1彈性均載環(huán)的約束及載荷
合理地確定彈性均載環(huán)的約束及載荷，是正確進(jìn)行彈性均載環(huán)靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析的關(guān)鍵。由于均載環(huán)置于輸入軸和輸出軸的軸承外圈和軸承座孔之間，軸承座和箱體是一體，箱體固定在工作臺(tái)上，所以邊界條件取為均載環(huán)的八個(gè)外凸臺(tái)固支，作用力F作用在內(nèi)凸臺(tái)表面上。均載環(huán)的力學(xué)模型如圖3-13所示。彈性均載環(huán)的內(nèi)外表面分別均勻分布八個(gè)凸臺(tái)。為了便于有限元分析，可以將均載環(huán)離散成八個(gè)環(huán)弧段，每個(gè)環(huán)弧段由一個(gè)內(nèi)凸臺(tái)和其相臨兩個(gè)外凸臺(tái)之間的部分構(gòu)成，內(nèi)凸臺(tái)受徑向載荷，離散環(huán)弧段與均載環(huán)的載荷和邊界條件相同。離散環(huán)弧段力學(xué)模型如圖3-14所示。
3.5.2用彈性力學(xué)的方法求解均載環(huán)的剛度
彈性力學(xué)是固體力學(xué)的一個(gè)分枝，主要研究物體（彈性體）由于受外力作用或溫度改變以及支座沉陷等原因而產(chǎn)生的應(yīng)力、形變和位移，彈性力學(xué)對(duì)彈性體作較精確的分析。對(duì)于本文的離散均載環(huán)弧段，環(huán)弧段的厚度h＜＜它的長(zhǎng)度2L（或?qū)挾?B），且撓度較小，可以利用彈性力學(xué)中薄板的小撓度變曲理論，將均載環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)與剛度聯(lián)系起來，通過正確處理邊界條件來改善計(jì)算結(jié)果。離散環(huán)弧段的計(jì)算模型如圖3-15所示，假定環(huán)弧段的支承邊界條件為兩端固支。
圖中f（x，y）=F·δ（x）/2L為環(huán)弧段單位面積上的分布力。
式中 F——環(huán)板內(nèi)凸臺(tái)受力；
δ（x）=Dirac——力分布函數(shù)。
按照平面薄板的小撓度彎曲理論，薄板變形的控制方程為：
式中 D=Eh2/(（12（1-μ2））為薄板的抗彎剛度；
h——薄板厚度；
μ——薄板材料的泊松比；
E——薄板材料的彈性模量。
邊界條件取為：
上式為兩端固支的環(huán)弧段剛度的計(jì)算公式，如將支承邊界條件改為一端簡(jiǎn)支和一端固支或兩端簡(jiǎn)支，則相應(yīng)的環(huán)弧段剛度為兩端固支剛度75%或50%。由式（3-8）可知，彈性均載環(huán)的厚度對(duì)其剛度的影響最大；在彈性均載環(huán)平均直徑一定時(shí)，凸臺(tái)尺寸及承載寬度對(duì)其剛度有一定影響。
由上述的輸入軸均載環(huán)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以求出輸入軸均載環(huán)環(huán)弧段的剛度為：
由上述的輸出軸均載環(huán)的實(shí)際結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以求出輸出軸均載環(huán)環(huán)弧段的剛度為：
3.5.3用有限元方法求解均載環(huán)的剛度
由3.5.1可知，將均載環(huán)離散成八個(gè)環(huán)弧段，每個(gè)環(huán)弧段由一個(gè)內(nèi)凸臺(tái)和其相臨兩個(gè)外凸臺(tái)之間的部分構(gòu)成，均載環(huán)剛度與其離散環(huán)弧段剛度之間的關(guān)系如圖3-16所示。
彈性均載環(huán)的剛度定義：均載環(huán)中心所作用之力與環(huán)的中心在該力方向上位移之比。對(duì)于4m＋4型、內(nèi)外表面均勻分布n個(gè)凸臺(tái)的均載環(huán)，若軸心沿-y方向有徑向位移A，則軸承外圈受到均載環(huán)下半
個(gè)內(nèi)凸臺(tái)的支反力Fi′(i=1，2，……，）作用，將均載環(huán)視為以外凸臺(tái)中線為界的n個(gè)環(huán)弧段的組合，則均載環(huán)相應(yīng)下半個(gè)環(huán)弧段內(nèi)凸臺(tái)的徑向變形為：
Ai=A·cos（βi) （3-10）
式中 βi——各弧段方位角，i=1，2，……，。
一般來說，由均載環(huán)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可知其各離散環(huán)弧段具有相同的剛度k，于是各離散環(huán)弧段的支反力為：
Fi′=k·Ai=k·A·cos（βi） （3-11）
式中 k——環(huán)弧段剛度，單位為N/m，i=1，2，……，。
由均載環(huán)剛度定義，均載環(huán)總體剛度為：
式中Fiy′——Fi沿y方向的分力，i=2，……，。
所以，對(duì)于n=4m+4類型的彈性均載環(huán)，總體剛度K與環(huán)弧段剛度k之間的關(guān)系可用下式表示：
對(duì)于n=4m+2類型的彈性均載環(huán)，它具有雙向剛度異性，總體剛度K與環(huán)弧段剛度k之間的關(guān)系可用下式表示：
由上述分析可知：均載環(huán)離散成八個(gè)對(duì)稱的環(huán)弧段，因此均載環(huán)總體剛度的計(jì)算歸結(jié)為求解其離散的環(huán)弧段的剛度。本章利用I-DEAS分析軟件計(jì)算內(nèi)、外表面各均勻分布八個(gè)凸臺(tái)的輸入、輸出軸彈性均載環(huán)的離散環(huán)弧段的剛度，從而得到均載環(huán)的總體剛度。對(duì)于圖3-15所示的離散環(huán)弧段，內(nèi)凸臺(tái)的受力沿+x方向，并且在沿軸向方向上均勻分布，所以只需考慮xy平面內(nèi)的形變分量和位移分量即可，可以認(rèn)為是平面應(yīng)力問題。在單元選擇上，選用“平面應(yīng)力問題”中的四結(jié)點(diǎn)單元，定義單元的四結(jié)點(diǎn)厚度與彈性均載環(huán)的寬度相一致。四結(jié)點(diǎn)單元如圖3-17所示。
對(duì)于輸出軸均載環(huán)，為了補(bǔ)償前述的等效中心誤差ymax，在實(shí)際分析時(shí)，當(dāng)圖3-15所示的離散環(huán)弧段的最大位移形變?chǔ)?ymax=0.077mm時(shí)，選用平面應(yīng)力問題求解，根據(jù)均載環(huán)的實(shí)際結(jié)構(gòu)，設(shè)置單元類型、大小及材料特性，選取四邊形單元，單元長(zhǎng)度選為0.4mm，對(duì)于輸出軸均載環(huán)，由Meshing模塊生成四邊形單元3499個(gè)，節(jié)點(diǎn)4495個(gè)；均載環(huán)八個(gè)外凸臺(tái)固支，建立約束集和解集，則可運(yùn)用I-DEAS分析軟件Model Solution模塊計(jì)算得到環(huán)弧段內(nèi)凸臺(tái)受力F=1266.4N，力F均勻地分布在內(nèi)凸臺(tái)表面上。
此時(shí)離散環(huán)弧段的應(yīng)力σ為：
σmin=6.49E-13MPa
σmax=3.74E+02MPa
由于均載環(huán)離散為八個(gè)對(duì)稱環(huán)弧段，故整個(gè)輸出軸均載環(huán)的最大應(yīng)力就等于離散環(huán)弧段的σmax。均載環(huán)的材料為55Si2Mn，由機(jī)械工程手冊(cè)查得：它的抗拉強(qiáng)度σb≥1.274E+03MPa，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于σmax，所以足夠滿足強(qiáng)度要求。
并且可以求出離散環(huán)弧段的剛度k:
對(duì)于輸入軸均載環(huán)，它的受力來源于一級(jí)傳動(dòng)的載荷分配不均勻力。由一級(jí)傳動(dòng)齒輪受力分析可知，假定一級(jí)傳動(dòng)載荷分配不均勻系數(shù)KP＝1.50，則可得載荷分配不均勻力F=253N，力F均勻地分布在內(nèi)凸臺(tái)表面上。選用平面應(yīng)力問題求解，根據(jù)均載環(huán)的實(shí)際結(jié)構(gòu)，設(shè)置單元類型、大小及材料特性，選取四邊形單元，單元長(zhǎng)度選為0.4mm，對(duì)于輸入軸均載環(huán)，由Meshing模塊生成四邊形單元1954個(gè)，節(jié)點(diǎn)2394個(gè)；均載環(huán)八個(gè)外凸臺(tái)固支，建立約束集和解集，則可運(yùn)用I-DEAS分析軟件Model Solution模塊計(jì)算得到環(huán)弧段的位移為：
εmin=0
εmax=1.25E-O2mm
此時(shí)離散環(huán)弧段的應(yīng)力σ為：
σmin=8.43E-O2MPa
σmax=1.4IE+O2Mpa
由于均載環(huán)離散為八個(gè)對(duì)稱環(huán)弧段，故整個(gè)輸入軸均載環(huán)的最大應(yīng)力就等于離散環(huán)弧段的σmax。均載環(huán)的材料為55Si2Mn，由機(jī)械工程手冊(cè)查得：它的抗拉強(qiáng)度σb≥1.274E+03MPa，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于σmax，所以足夠滿足強(qiáng)度要求。
并且可以求出離散環(huán)弧段的剛度k:
用平面薄板的小撓度理論計(jì)算得到的環(huán)弧段的剛度比用I-DEAS軟件計(jì)算得到的環(huán)弧段的剛度要小約13.6%，因此在精度要求允許的情況下，可以用理論計(jì)算預(yù)估均載環(huán)的剛度，用來指導(dǎo)設(shè)計(jì)。
3.6彈性均載環(huán)動(dòng)力學(xué)分析
機(jī)器中的傳動(dòng)部分是機(jī)器的基本組成部分，機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)劣直接影響著機(jī)器性能的發(fā)揮。隨著機(jī)械傳動(dòng)速度的提高，機(jī)械振動(dòng)和平衡問題已經(jīng)成為某些機(jī)械設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問題。各種機(jī)械在工作過程中所產(chǎn)生的振動(dòng)，可使它們的動(dòng)態(tài)性能嚴(yán)重惡化，從而降低其傳動(dòng)精度、生產(chǎn)效率、機(jī)械零件的壽命，甚至引起機(jī)械零件的破壞。同時(shí)，由于機(jī)械振動(dòng)所產(chǎn)生的噪音，又可污染生產(chǎn)環(huán)境，影響人們健康。因此，動(dòng)力學(xué)分析已經(jīng)成為機(jī)械設(shè)計(jì)的必要手段。
動(dòng)力學(xué)分析是指在已知系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型（數(shù)學(xué)模型）、外部激振力和系統(tǒng)工作條件的基礎(chǔ)上，分析研究系統(tǒng)的動(dòng)力特性。動(dòng)力學(xué)分析大致包括下列三方面的問題：
1.固有特性問題；
2.動(dòng)力響應(yīng)問題；
3.動(dòng)力穩(wěn)定性問題；
對(duì)于本文的均載環(huán)來說，作為減速機(jī)的一個(gè)子結(jié)構(gòu)，它不可能產(chǎn)生自激振動(dòng)。因此，在本章中只研究均載環(huán)的固有振動(dòng)頻率、模態(tài)振型和動(dòng)力響應(yīng)。求解多自由度有阻尼離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題，通常建立模型的運(yùn)動(dòng)方程，采用模態(tài)分析法和子空間迭代法，用高級(jí)語(yǔ)言編程求解系統(tǒng)受任意激振力作用下的固有頻率和模態(tài)振型。在本章中，考慮到彈性均載環(huán)的運(yùn)動(dòng)方程難以建立，故而采用有限元方法來進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。
3.6.1彈性均載環(huán)的固有特性
本文利用I-DEAS軟件來進(jìn)行彈性均載環(huán)的動(dòng)力學(xué)分析。首先求解均載環(huán)的固有特性問題，在圖3-14所示的均載環(huán)的力學(xué)模型中，均載環(huán)的邊界條件取為均載環(huán)的八個(gè)外凸臺(tái)固支，輸出軸均載環(huán)和輸入軸均載環(huán)的有限元模型參數(shù)同3.5.3，中研究的一致。應(yīng)用Model草藥Solution模塊中的Model response部分，選用Normal Mode Dynalnics-SVI（普通模態(tài)動(dòng)力分析——同步矢量迭代法）方法求得輸出軸均載環(huán)和輸入軸均載環(huán)的前六階固有頻率和模態(tài)振型分別如表3-2、3-3所示。
由表3-2可知，輸出軸均載環(huán)的前六階固有頻率在1250OHz～12700Hz之間，這些固有頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于三環(huán)減速機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和嚙合頻率，三環(huán)減速機(jī)幾乎沒有發(fā)生共振的可能性。由振動(dòng)理論可知，構(gòu)件的約束增多，尤其是固定約束增多，則它的固有頻率將增大。本文中的輸出軸均載環(huán)由于固定約束點(diǎn)較多而導(dǎo)致它的固有頻率較高。
由表3-3可知，輸入軸均載環(huán)的前六階固有頻率在2750OHz～30300Hz之間，這些固有頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于三環(huán)減速機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和嚙合頻率，三環(huán)減速機(jī)幾乎沒有發(fā)生共振的可能性。本文中的輸入軸均載環(huán)由于固定約束點(diǎn)較多而導(dǎo)致它的固有頻率較高。
3.6.2彈性均載環(huán)的動(dòng)力響應(yīng)
首先求解輸出軸均載環(huán)的動(dòng)力響應(yīng)問題，輸出軸均載環(huán)的外部激振力來源于少齒差內(nèi)嚙合的載荷分配不均勻力F，由前述分析可知，考慮三環(huán)減速機(jī)主要制造安裝誤差，當(dāng)離散環(huán)弧段的最大位移形變?chǔ)?ymax=0.077mm時(shí)，則可運(yùn)用I-DEAS分析軟件Model Sofution模塊計(jì)算得到離散環(huán)弧段的內(nèi)凸臺(tái)受力F=1266.4N。力F均勻地分布在內(nèi)凸臺(tái)表面上。
載荷分配不均勻力F來源于三環(huán)減速機(jī)少齒差傳動(dòng)中的嚙合力，嚙合力的方向總是相切于齒輪的基圓，指向嚙合點(diǎn)，在嚙合的過程中，嚙合力的方向總在周期地變化著。于是可得：在某一時(shí)刻具有n個(gè)內(nèi)、外凸臺(tái)的輸出軸彈性均載環(huán)內(nèi)凸臺(tái)所受的載荷為：
Fi=F·cos（βi）
式中 βi為各內(nèi)凸臺(tái)與F力作用點(diǎn)之間的夾角，i=1，2，……，n；
通過對(duì)嚙合力的分析，認(rèn)為輸出軸均載環(huán)受到簡(jiǎn)諧激振力Fcos（ωt）是合理的，其中ω為輸出軸的回轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系可得：
式中 T——輸出軸回轉(zhuǎn)周期；
n——輸入電機(jī)轉(zhuǎn)速。
取輸出軸均載環(huán)的八個(gè)均布內(nèi)凸臺(tái)的中間點(diǎn)作為振動(dòng)響應(yīng)點(diǎn)，示意圖如圖3-18所示。取輸出軸均載環(huán)系統(tǒng)粘性阻尼系數(shù)c=0.03，均載環(huán)的邊界條件取為均載環(huán)的八個(gè)外凸臺(tái)固支，輸出軸均載環(huán)和輸入軸均載環(huán)的有限元模型參數(shù)同3.5.3中研究的一致。于是應(yīng)用I-DEAS分析軟件Model Solution模塊中的Model Response部分，可以求得彈性均載環(huán)的暫態(tài)激勵(lì)幅頻、相頻響應(yīng)特性曲線如圖3-19。
同時(shí)可以救是輸出軸均載環(huán)的動(dòng)態(tài)撓度和動(dòng)態(tài)主應(yīng)力的最大值分別為：
ydmax=7.91E-05mm＜[yd]
σdmax=1.43E-01MPa＜[σd]
式中 [yd]——輸出軸均載環(huán)許用動(dòng)態(tài)撓度，本章中取[yd]=0.4mm；
[σd]——輸出軸均載環(huán)許用動(dòng)態(tài)主應(yīng)力，本章中取[σd]=700MPa。
所以說：輸出軸均載環(huán)的動(dòng)態(tài)特性良好。
其次求解輸入軸均載環(huán)的動(dòng)力響應(yīng)問題，輸入軸均載環(huán)的外部激振力來源于定軸傳動(dòng)的載荷分配不均勻力F，由一級(jí)傳動(dòng)齒輪受力分析可知，假定一級(jí)傳動(dòng)載荷分配不均勻系數(shù)KP=1.50，則可得三環(huán)減速機(jī)的載荷分配不均勻力F=253N。
載荷分配不均勻國(guó)F來源于三環(huán)減速機(jī)定軸傳動(dòng)中的嚙合力，嚙合力的方向總是相切于齒輪的基圓，指向嚙合點(diǎn)，在嚙合的過程中，嚙合力的波動(dòng)總在周期地變化著。于是可得：在某一時(shí)刻具有n個(gè)內(nèi)、外凸臺(tái)的輸入軸均載環(huán)內(nèi)凸臺(tái)所受的載荷為：
Fi=F·cos（βi）
式中 βi為各內(nèi)凸臺(tái)方位角，i=1，2，…，n。
通過對(duì)嚙合力的分析，認(rèn)為輸入軸均載環(huán)受到簡(jiǎn)諧激振力Fcos（ωt）是合理的，其中ω為輸入軸的回轉(zhuǎn)角速度。根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系可得：
式中 T——輸入軸回轉(zhuǎn)周期；
n——輸入電機(jī)轉(zhuǎn)速。
取輸入軸均載環(huán)的八個(gè)內(nèi)凸臺(tái)的中間點(diǎn)作為振動(dòng)響應(yīng)點(diǎn)，示意圖同圖3-18所示。取輸入軸均載環(huán)系統(tǒng)粘性阻尼系數(shù)c=0.03，均載環(huán)的邊界條件取為均載環(huán)的八個(gè)外凸臺(tái)固支，輸出軸均載環(huán)和輸入軸均載環(huán)的有限元模型參數(shù)同3.5.3中研究的一致。于是應(yīng)用I-DEAS分析軟件Model Solution模塊中的Model Response部分，可以求得輸入軸均載環(huán)的暫態(tài)激勵(lì)幅頻、相頻響應(yīng)特性曲線如圖3-20所示。
同時(shí)可以求得輸入軸均載環(huán)的動(dòng)態(tài)撓度和動(dòng)態(tài)主應(yīng)力的最大值分別為：
ydmax=1.42E-10mm＜[yd]
σdmax=1.81E+00MPz＜[σd]
式中 [yd]——輸入軸均載環(huán)許用動(dòng)態(tài)撓度，本章中取[yd]=0.04mm；
[σd]——輸入軸均載環(huán)許用動(dòng)態(tài)應(yīng)力，本章中取[σd]≥700MPa。
所以說：輸入軸均載的動(dòng)態(tài)特性良好。
3.7本章小結(jié)
本章在對(duì)三環(huán)減速機(jī)的制造安裝誤差和載荷分配進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合行星傳動(dòng)均載的原理，提出了一種新型的利用零件彈性變形均載的三環(huán)減速機(jī)均載機(jī)構(gòu)一金屬?gòu)椥原h(huán)均載機(jī)構(gòu)，并且對(duì)其進(jìn)行靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析，從理論上驗(yàn)證均載環(huán)的均載效果。
衡量三環(huán)減速機(jī)載荷分配性能的指標(biāo)是載荷分配不均勻系數(shù)KP，本章提出了一種利用非線性有限元方法一間隙單元法計(jì)算三環(huán)減速機(jī)載荷分配不均勻系數(shù)KP的方法，并對(duì)兩種三環(huán)減速機(jī)進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算。載荷分配不均勻系數(shù)KP的確定不僅為三環(huán)減速機(jī)的載荷分配提供理論依據(jù)，而且為三環(huán)減速機(jī)均載機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供評(píng)價(jià)依據(jù)。
對(duì)彈性均載環(huán)進(jìn)行靜力學(xué)分析，用彈性力學(xué)平面薄板的小撓度分析理論和有限元分析的方法分別計(jì)算輸入軸均載環(huán)和輸出軸均載環(huán)的剛度和強(qiáng)度。
對(duì)彈性均載環(huán)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，利用I-DEAS分析軟件對(duì)三環(huán)減速機(jī)的輸入鐘均載環(huán)和輸出軸均載環(huán)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析，得到其前六階固有頻率、模態(tài)振型和瞬態(tài)激勵(lì)頻率響應(yīng)特性曲線。
綜上所述，金屬?gòu)椥跃d環(huán)具有較好的位移均載效果，能夠滿足位移均載要求，是一種理想的三環(huán)減速機(jī)均載機(jī)構(gòu)。
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