2連桿行星齒輪機構(gòu)位移協(xié)調(diào)原理的研究
2.1引言
現(xiàn)有機構(gòu)受力分析主法要求機構(gòu)滿面足靜定條件，從而可按剛體力學原理進行分析。然而，當機構(gòu)中存在虛約束時，運動鏈不再滿足靜定條件，機構(gòu)的受力分析無法則剛體力學的方法完全確定。這種機構(gòu)稱為靜不定的過約束機構(gòu)。過約束機構(gòu)的計算自由度（計入虛約束）小于實際自由度。
對于連桿行星齒輪傳動機構(gòu)來說，為了克服機構(gòu)“死點”，一般是采用多相并列雙曲柄平行四邊形機構(gòu)或多曲柄平行四邊形機構(gòu)作為輸入機構(gòu)的。因此，它是多次靜不定的過約束機構(gòu)。要完全確定機構(gòu)的約束動反力，必須尋求與其靜不定次數(shù)相同數(shù)目的位移協(xié)調(diào)補棄方程。過約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)與運動構(gòu)件數(shù)，運動副類型及其數(shù)量等有關(guān)。對于少齒差連桿行星齒輪傳動機構(gòu)，由于接觸承載輪齒對數(shù)因與載荷 大小，機構(gòu)的運轉(zhuǎn)工況角的周期函數(shù)。因此，城要增加的機構(gòu)位移協(xié)調(diào)方程也是工況角的函數(shù)。
建立連桿行星齒輪傳動機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)節(jié)器補充方程時，應根據(jù)機構(gòu)變形幾何條件，求出構(gòu)件、組合構(gòu)件、以及機構(gòu)等到的位移協(xié)調(diào)關(guān)系。由于機構(gòu)構(gòu)件之間不可避免的存在著運動副間隙或各種誤差，使具有剛性鏈的連桿行星齒輪過約束機構(gòu)的動態(tài)性能受到很大的影響。因此，在建立機構(gòu)位移協(xié)調(diào)節(jié)器方程時，應尺可能將這些因素考慮進去。目前，幾乎還沒有人涉及過約束機構(gòu)領(lǐng)域，對具有誤差、間隙的機構(gòu)更是無公開文章發(fā)表。本章對過約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)進行研究，考虎機構(gòu)間隙（或誤差）的位稱協(xié)調(diào)關(guān)系，進而對連桿行星齒輪機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理進行深入，系統(tǒng)的研究，提出該類傳動機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)條件。
2.2 過約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)
在考慮過約束機構(gòu)的補充方程時，應首先確定機構(gòu)的靜不定次數(shù)。
對一個任意的空間機構(gòu)，如果有N個運動構(gòu)件，就能列出6N個動力分析方程，即可以求解確定6N個未知量。示知量的數(shù)量可以由以下兩部分確定：其一是運動副中的約束反力未知分量和反力矩未知分量數(shù)；其二是作用在輸入構(gòu)件上的輸入力或輸入力偶矩。一個運動副如沿某軸線有相對移動自由度，則沿該軸線的約束反力分量為0，如繞某軸線有相對轉(zhuǎn)動自由度，則沿該軸線的約束反力矩為0。因此，當一運動副的級別為k時，其約束反力的分量數(shù)為pk·k，設(shè)每一輸入構(gòu)件作用一輸入力或力矩，則輸入構(gòu)件上的未知力數(shù)為W，因而未知量總為
M=W+Σ5k=1k·Pk （2-1）
當機構(gòu)是具靜力確定性的靜定系統(tǒng)時，未知量總數(shù)應與基本方程式數(shù)目相等，即
M=6N （2-2）
W=6N-Σ5k=1k·Pk （2-3）
式（2-3）就是機構(gòu)的自由度計算公式。
當機構(gòu)為過約束機構(gòu)時，未知量總數(shù)大于基本方程式數(shù)目，即
W+Σ5k=1k·Pk＞6N （2-4）
將上式變?yōu)?/p>
6N-Σ5k=1k·Pk＜W （2-5）
式（2-5）的左邊為計入所有構(gòu)件及運動副的計算自由度，右邊W為實際自由度，設(shè)守約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)為S，由式（2-4）或式（2-5）可得
S=W-(6N-Σ5k=1k·Pk) （2-6）
由此可知，當S=0時為靜定機構(gòu)，當S＞0時為靜不定機構(gòu)（過約束機構(gòu)）。
平面過約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)可表示為
S=W-(3N-2P+E) （2-7）
式中P為低副數(shù)目，E為高副數(shù)目。
若一個多相多曲柄并列連桿行星齒輪傳動機構(gòu)有m根高速軸、n片行星齒板，第j片行星齒板與輸出外齒輪參加接觸承載的齒對數(shù)為Z(j)，則由式（2-7）求得其靜不定次數(shù)為
S=1-{3(m+n+1)-2[m(n+1)+1]Σnj=1Z(j)} （2-8）
當m=2時，得多相并列雙軸式的連桿行星齒輪傳動機構(gòu)的靜不定次數(shù)
S=n-2+Σnj=1Z(j) （2-9）
三環(huán)減速器的靜不定次數(shù)為
S=1+Σ3j=1Z(j) （2-10）
由式（2-8）時，多相并列多曲柄連桿行星齒輪傳動機構(gòu)的靜不定次數(shù)與行星齒板數(shù)n、高速數(shù)m以及各相齒板與輸出齒輪的接觸承載齒對數(shù)Z(j)有關(guān)。
2.3 機構(gòu)構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
研究連桿行星齒輪過約束機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理，應從構(gòu)件的位移關(guān)系入手。構(gòu)件上點的位移除變形位移外，組合構(gòu)件還包括由運動副間隙引起的剛體位移。構(gòu)件上點的位移關(guān)系就是構(gòu)件滿足的位移協(xié)調(diào)條件。
2.3.1 單個構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
設(shè)一構(gòu)件ab在外力作用下，產(chǎn)生微小位移（包含剛體位移和彈性變形位移），如圖2-1所示。
ab為L，與水平坐標軸的夾角為θ0，構(gòu)件上α、B兩點在受力后移位到a′、b′。
式中u-b、v-b是構(gòu)件上b點的位移；
ua、va是構(gòu)件上基點a的位移；
uba、vba是構(gòu)件上兩點a、b相對變形位移；
θ是構(gòu)件b點繞基點a的微小角位移。
式（2-17）就是構(gòu)件上任意兩點的位移協(xié)調(diào)原理，其意義為構(gòu)件在外力作用下，產(chǎn)生微小剛體位移和彈性變形位移時，其上某點的位移是所選參考點的位移（平動位移）、與該點繞參考點轉(zhuǎn)動的角位移以及與考慮點之間的相對變形位移的合位移。
2.3.2組合構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
由于構(gòu)件與構(gòu)件之間存在運動副間隙，因此組合構(gòu)件上任意兩點之間的位移關(guān)系，可能包括有間隙位移在內(nèi)。
根據(jù)式（2-17）及式（2-24）可以對連桿行星齒輪傳動機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理進行研究。
2.4連桿行星齒輪機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)原理
國科2-3所示為一多相并列連桿行星齒輪過約束機構(gòu)。為了得到與靜不定次數(shù)相對應的S個補充方程，必考慮各構(gòu)件間、各相機構(gòu)間、以及多齒承載的位移協(xié)調(diào)要求，這是分析具有多余聯(lián)系體系受力的一般方法。為此，可先將機構(gòu)轉(zhuǎn)化為受力、變形等效的結(jié)構(gòu)（幾何不變體系），然后用結(jié)構(gòu)力學的方法分析系統(tǒng)、構(gòu)件位移協(xié)調(diào)的條件。
在任意時刻t，用一假想剛性連架桿d（圖中虛線）與輸入高速軸的某相曲柄OA相連，則原機構(gòu)變成一個幾何不變體系（即承受載荷的，不會產(chǎn)生機械運動的結(jié)構(gòu)）。由此體系沿連架桿方向取∑Fd=0的條件可行Rd=0,即增加連架桿并不影響原機構(gòu)的受力和變形，只不過為研究各相機構(gòu)及各構(gòu)件的變形引起的位移提供了一個相對基準。
2.4.1各構(gòu)件間的位移協(xié)調(diào)原理
設(shè)多相并列連桿行星齒輪傳動機構(gòu)在外力作用下，由于運動副間隙及構(gòu)件的變形，各構(gòu)件相對其理論位置產(chǎn)生微小位移。取機構(gòu)的某相子機構(gòu)為分離體（2-24）用上節(jié)介紹的構(gòu)件位移關(guān)系來研究各構(gòu)件間的位移協(xié)調(diào)條件。
1.行星齒板上各高速軸孔中心位移
以p點參考點由式（2-17）得
2.偏心套中心位移
由式（2-22）可以將齒板的位移變換為偏心套中心的位移
3.各軸中心位移
各高速軸中心與偏心套中心之間的位移關(guān)系為
2.4.2各相機構(gòu)間的位移協(xié)調(diào)原理
研究各相機構(gòu)之間的位稱協(xié)調(diào)原理，就是找出各相機構(gòu)之間位移滿足的關(guān)系。取整個機構(gòu)為研究對象，把它看作是具有廣義間隙的多相子機構(gòu)系統(tǒng)組成的閉環(huán)彈性機構(gòu)。若將各構(gòu)件用彈簧代替，則該閉環(huán)彈性機構(gòu)可表示為圖2-5所示的彈簧系統(tǒng)模型。圖中各軸是理想的剛性軸。為便于理解可用圖2-6所示的等效并聯(lián)平面彈簧系統(tǒng)來表示。
圖中
K(j)i是高速軸i及其軸上的偏心套、軸承等綜合剛度，i=1，2，…，m；
K(j)i-1是高速軸i-1及其軸上的偏心套、軸承等綜合剛度；
K(j)b是齒板的綜合剛度；
K(j)o是輸出軸及軸上齒輪等綜合剛度；
r(j)k是機構(gòu)中各間隙值，k=1，2，…。
機構(gòu)的變形主要有各軸的彎曲、扭轉(zhuǎn)變形、偏心套、軸承、行星齒板及輸出齒輪等的彈性變形。下面用分析彈簧系統(tǒng)變形的方法來尋找各相機構(gòu)之間的位移關(guān)系。
式中△β(j)z0是輸出軸第j相軸段的扭轉(zhuǎn)角位移。
△β(j)e0齒輪分度誤差。
將式（2-36）及式（2-37）代入式（2-35）就能得到（N-1）m個機構(gòu)的位移協(xié)調(diào)補充方程。
2.4.3多齒承載的位移協(xié)調(diào)原理
在運轉(zhuǎn)過程中的少齒差連桿行星齒輪傳動裝置，不處于嚙合位置的齒對，在進人嚙合之前及在脫離嚙合之后，其內(nèi)外齒廓間的間隙非常小。在傳遞載荷過程中，輪齒的變形量要大于一部分齒對的間隙，這些齒對就要接觸并同時分擔載荷，形成多齒接觸承載傳動。在額定載荷下，實際接觸齒數(shù)有時候遠大于理論重合度。
在某剛側(cè)t，如某相行星齒板與低速軸齒輪實際接觸承載的齒對數(shù)為Z(j)，而各對齒對在機構(gòu)受載前的法向理論間隙為J(j)K，則某對齒沿齒廓的法向總位移為：
δ(j)nk=δ(j)npk+J(j)K （2-38）
式中k=1，2，…，Z(j)；
δ(j)nk是機構(gòu)受載后某齒對從非接觸狀態(tài)到接觸承載，其接觸點的位移；
δ(j)npk是齒對接觸后產(chǎn)生的位移，等于兩接觸齒的變形位移之和：
δ(j)npk=δ(j)nbk+δ(j)nok （2-39）
其中δ(j)nbk是連桿行星齒板總變形引起其上接觸齒接觸點的位移；
δ(j)nok是輸出齒輪接觸齒接觸點的位移。
在多齒接觸區(qū)，每對接觸承載齒的法向總位移是相等的，即有
δ(j)npk+J(j)k=C(j)(常數(shù)) （2-40）
式中k=1，2，…，Z(j)；
C(j)為各相的常數(shù)。
式（2-40）就是少齒差連桿行星齒輪傳動初喲多齒接觸承載的位移協(xié)調(diào)條件。用于多相并列少齒差連桿行星齒輪傳動機構(gòu)時，由此消去C(j)后可列出Σni=1(Z(j)-1)個補充方程。
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