第三章 三環(huán)減速器建模及動態(tài)特性有限元分析計算
§3-1 引言
對三環(huán)減速器振動系統(tǒng)進行振動與噪聲的分析與研究，首先必須建立其數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型有理論建模和試驗建模兩類。所謂的理論建模是指由結(jié)構(gòu)、機械的設(shè)計圖紙出發(fā)，作出必要的假定與簡化，根據(jù)力學(xué)原理建模；而試驗建模是對振動系統(tǒng)進行激振，通過沒量獲得系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)，再經(jīng)過對它們的分析、處理而建立的模型。這兩類方法各有其特點，可分別適用于自己特點的情況。在此，我們僅討論對三環(huán)減速器振動系統(tǒng)進行理論建模，并在SUN工作站上用I-DEAS軟件的有限元模塊及實體建模模塊對SHQ40建模并計算，而試驗建模我們將在第六章中討論。
§3-2 描述振動系統(tǒng)的方法
振動系統(tǒng)有確定性和隨機系統(tǒng)兩大類，在這里，我們主要討論確定性振動系統(tǒng)。確定性振動系統(tǒng)通常分為分布參數(shù)振動系統(tǒng)和離散振動兩大類，不同的振動系統(tǒng)存在其相應(yīng)的描述方法。
§3-2.1 分布能數(shù)振動系統(tǒng)
具有分布質(zhì)量、彈性和阻尼的系統(tǒng)，稱為分布參數(shù)或連續(xù)參數(shù)系統(tǒng)。在域D的每一點都應(yīng)滿足如下的運動微分方程。
式中：U（p，t）——任意點p的位移，它應(yīng)滿足的邊界條件是：
B，[u（p，t）]=0，（i=0，1，2……，p）；
L—一個線性的2P階齊次數(shù)微分算子，它描述了系統(tǒng)的剛度分布；
C—一個類似于算子L的2P階線性齊次數(shù)分算子，它描述了系統(tǒng)的阻尼分布；
M—線性齊次微分算子，它描述了系統(tǒng)的質(zhì)量分布；
f（p，t）——分布激振力；
A1，A2……——坐標x，y，z的函數(shù)；
x，y，z——p點的坐標，即p（x，y，z）；
B1——線性齊次微分算子；
由式（3.1）可知，分布參數(shù)系統(tǒng)的運動是以偏微分方程來描述的，這類運動方程中所包含的參數(shù)，通常是空間變量的連續(xù)函數(shù)。分布參數(shù)系統(tǒng)具有無限多個自由度。所以，與一個分布參數(shù)系統(tǒng)相對應(yīng)的特征解是由可數(shù)的然而是無限多個特征值和特征向量組成。
為了獲得可靠的、精確的分布參系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，就需精確地確定運動方程中的各個參數(shù)。為此，利用如上述的試驗建模方法——振動參數(shù)識別技術(shù)是一個有效的方法。通常，分布參數(shù)振動系統(tǒng)的參數(shù)識別方法有：（１）將分布參數(shù)系統(tǒng)離散化，獲得離散系統(tǒng)的模型，然后識別離散模型中的參數(shù)或與它相應(yīng)的特征解；（２）直接以從布參數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)識別分布參數(shù)系統(tǒng)運動微分方程中的各參數(shù)；（３）首先識別與實際分布參數(shù)系統(tǒng)相應(yīng)的離散模型的特征解，然后，利用識別的特征解來識別方程中的各個參數(shù)。
一個分布參數(shù)系統(tǒng)有無限多個的特征值與特征的向量。但是，人們不可能識別完全的特征解，通常是識別與該系統(tǒng)相應(yīng)的低階特征值和特征向量。此外，目前的技術(shù)水平還不能滿足分布式測量的要求，因此，其識別工作還得借助于離散式測量來完成。
§3-2.2 離散振動系統(tǒng)
分布參數(shù)系統(tǒng)是一個非常復(fù)雜的系統(tǒng)，它給振動分析和振動參數(shù)識別帶來了很大困難，主要表現(xiàn)在：（1）系統(tǒng)的慣性、彈性、阻尼、激勵力和運動都依賴于空間坐標，因而導(dǎo)致數(shù)學(xué)上較難處理的偏微分方程及復(fù)雜的邊界條件。因此，一般情況下，除了少量的簡單結(jié)構(gòu)外，很難獲得嚴格的封閉形式的解；（2）不可能獲得分布的響應(yīng)測量及無限多個特征解。因而，實際作振動分析、振動參數(shù)識別時，通常將無限多個自由度的分布參數(shù)系統(tǒng)離散為有限自由度的離散振動系統(tǒng)。把分布參數(shù)系統(tǒng)離散化一般有以下幾種方法：
一、集中質(zhì)量法
把結(jié)構(gòu)的質(zhì)量分別集中在若干點而形成有限個質(zhì)點的集中參數(shù)系統(tǒng)。質(zhì)量元件、彈性元件和阻尼元件分別只有慣性、彈性和阻尼特性；
二、廣義坐標法
把結(jié)構(gòu)的變形分解為一系列具有固定形式的函數(shù)，而以廣義坐標表示結(jié)構(gòu)的變形。這種方法，雖然理論上需要考慮無限多項，但實際上只要考慮有限幾項即可獲得具有足夠精度的計算結(jié)果。如瑞利—里茲法、模態(tài)坐標法等。
三、有限元法
可以哈密頓原理導(dǎo)出的拉格朗日方程，導(dǎo)出離散振動系統(tǒng)的一般運動微分方程式：
上式中：M——質(zhì)量矩陣，正定矩陣；
C——粘性阻尼矩陣，實對稱正定式或半正定短陣；
D——結(jié)構(gòu)阻尼矩陣，實對稱正定式或半正定短陣；
K——剛度矩陣，實對稱正定式或半定矩陣；
G=-GT——陀螺矩陣，反對稱矩陣；
H=-HT——循環(huán)矩陣，反對稱矩陣；
f（t）——激勵力矩陣；
對于無源系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)作任一運動時，D就再出現(xiàn)，當(dāng)振動系統(tǒng)中存在傳遞功率的曲柄、軸、滑動與裝置時，常形成陀螺效應(yīng)和循環(huán)力，這時系統(tǒng)就成為有源系統(tǒng)。
§3-2.3 離散振動系統(tǒng)實模態(tài)坐標描述
僅討論無阻尼離散振動系統(tǒng)，無阻尼自由振動系統(tǒng)運動微分方程由式（3.5）確定為：
求解上式得特征值，即得離散振動系統(tǒng)的固有頻率ω，然后將ω代入式（3.8）就可能解出固有振型矩陣ф，則由ω、ф就構(gòu)成了振動系統(tǒng)固有模態(tài)參數(shù)。由于各階固有振型ф，具有加權(quán)正交性質(zhì)，且又是線性獨立的，那么就可由固有振型ф構(gòu)成一個n維空間的完備的正交基，作為一個新坐標系，稱之為固有模態(tài)坐標系。于是對應(yīng)于原物理坐標系的任一向量x（t），在n維空間中，可表示n階固有振型的線性組合，即：
式中q——模態(tài)位移向量；
將式（3.10）代入式（3.5），再以φT前乘可得：
由上式可知：在實模態(tài)坐標系里，用物理坐標系描述的運動微分方程，變成n個獨立互不耦合的動運微分方程。解式（3.11）可確定q，再由式(3.10）可確定物理坐標系下的響應(yīng)X(t)。式（3.10）是物理坐標系和固有模態(tài)和固有模態(tài)坐標系之間相互轉(zhuǎn)換的重要關(guān)系式。
§3-3 三環(huán)減速器振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
根據(jù)三環(huán)減速器的結(jié)構(gòu)原理，如圖2-3（a）（b）和圖2-4（a）（b）所示。我們將其振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立如圖3-0所示。
圖3-0 三環(huán)減速器振動系統(tǒng)教學(xué)模型
該模型由Ⅰ、Ⅱ兩個子模型組成，其中Ⅰ子模型為傳動鏈及其附件部分，Ⅱ子模型為箱體部分。Ⅰ、Ⅱ子模型間通過軸與軸承在a、b、c、d、e、f處緊密聯(lián)接而構(gòu)成三環(huán)減速器振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。
Ⅰ、Ⅱ子模型振動系統(tǒng)都是由分布參數(shù)振動系統(tǒng)，它們實際的數(shù)學(xué)模型應(yīng)曲式（3.1）來描述，但在實際作振動分析、振動參數(shù)識別時，我們將Ⅰ、Ⅱ兩個子模型都作為離散振動系統(tǒng)來考慮，即由式（3.2）～（3.6）來確定其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。
一、Ⅰ子模型振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
由圖2-2、圖2-3（a）（b）及圖3-0分析知，Ⅰ子模型主要為傳動鏈及其附件，用于傳遞系統(tǒng)的運動和動力，分析其傳動結(jié)構(gòu)及原理，根據(jù)式（3.2）可得Ⅰ子模型的數(shù)學(xué)模型為：
Krθ——軸、環(huán)板彈性矩；
Krθθ——各聯(lián)接處彈性矩；
Kgθθ——輪齒彈性矩；
Mgg——由齒形識別差引起的力矩；
Mgf——由齒面摩擦力引起的力矩；
Mrf——各聯(lián)接處的摩擦力矩；
Mb——軸承非線性剛度引起的彈性矩；
MD——傳動鏈中軸承阻尼力；
Mx——雙曲柄機構(gòu)額外沖擊力矩；
M——外界激勵力矩；
式中Mx的成因及其對Ⅰ子模造成的影響在第二章中已有論述。
二、Ⅱ子模型振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型
由圖2-2、圖2-3（a）（b）及其圖3-0分析知，Ⅱ子模型為箱體結(jié)構(gòu)，顯然Ⅱ子模型為無源振動系統(tǒng)，故可根據(jù)式（3.2）、（3.3）、（3.4）、（3.5）知其數(shù)學(xué)模型為
Kx——彈性力；
F（t）——外界激勵力；
三、Ⅰ、Ⅱ子模型間關(guān)系
由圖3-0所知，Ⅰ、Ⅱ子模型間在a、b、c、d、e、f處緊密相連，Ⅱ的外界激勵力F（t）就是由Ⅰ通過a、b、c、d、e、f處作用于Ⅱ子模型而引起的，通過對Ⅰ子模型進行分析可計算出Ⅰ對Ⅱ的激勵力F（t），將F（t）代入Ⅱ的式（3.13），就可對Ⅱ子模型進行動態(tài)特性的分析計算。
F（t）主要同Mgg、Mgr、Mrg、Mrf、Mb、MD、Mx等組成，在本研究中，我們用試驗的方法來確定F（t）的大小，見第四章。
從上述分析中可知，在三環(huán)減速器振動系統(tǒng)中，Ⅰ子模型是產(chǎn)生振動和噪聲的根源地，Ⅱ子模型是振動與噪聲傳播體。在第二章中，我們已分析了Ⅰ子模型產(chǎn)生振動、噪聲激勵的原因，在本章中我們僅討論Ⅱ子模型受激后的振動與噪聲問題。
§3-4 三環(huán)減速器箱體理論建模和有限元（FEM）法分析
§3-4.1 殼體結(jié)構(gòu)
所謂的殼體結(jié)構(gòu)定義為在兩個具有小間距的以曲雙面之間的密閉式體。這兩個曲面間的距離，就是殼體結(jié)構(gòu)的厚度。如果厚度與結(jié)合面的外廓尺寸相比很小的話，那么這個殼體就定義為薄殼結(jié)構(gòu)；反之則為厚殼結(jié)構(gòu)。殼體結(jié)構(gòu)實質(zhì)上是一種可由薄板轉(zhuǎn)化而來的結(jié)構(gòu)，其法是非曲是一開始就將中面做成單曲（或雙曲）的曲。雖然關(guān)于應(yīng)力和應(yīng)變沿橫向分布的假設(shè)仍然成立，殼體承受外載荷的方法卻與平板完全不同。平行殼體中面作用的應(yīng)力合力現(xiàn)在產(chǎn)生曲面法方向的分量，并且這一應(yīng)力合力平衡了載荷的大部分。這就是殼體作為承載結(jié)構(gòu)比較經(jīng) 濟而且受到廣泛應(yīng)用的原因。
廣泛應(yīng)用于工業(yè)中的齒輪傳動裝置的箱體結(jié)構(gòu)，根據(jù)使用場合的不同，有的就可以作為殼體結(jié)構(gòu)來處理，并且一般箱體的材料都是均質(zhì)、名向同性和完全彈性的（在一定范圍內(nèi)），這樣就更利于對箱體的特性理行分析計算。
本研究中的SHQ40型三環(huán)減速器如圖6-4（a）（b）及圖3-1所示，其箱體的長寬高尺寸分別為708mm，147mm和385mm，厚度僅為8mm，所以在這里我們將其作為薄殼結(jié)構(gòu)來進行研究，以分析其動態(tài)特性。
圖3-1 SHQ40箱體尺寸圖
§3-4.2 三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)有限元（FEM）法理論分析
對于三環(huán)減速器箱體，即Ⅱ子模型振動系統(tǒng)，它實質(zhì)上是一個連續(xù)的振動系統(tǒng)，我們必須將其離散化作為離散振動系統(tǒng)來進行分析計算，這我們已在第二節(jié)中詳細討論過了。在這里，我們用有限法（FEM）對箱體離散化殼體結(jié)振動系統(tǒng)進行理論上的分析和計算。
一、三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)有限元法（FEM）理論分析
所謂的有限元法，顧名思義，就是假設(shè)箱體薄殼體結(jié)構(gòu)是由一系列薄殼小元素組成，稱它們?yōu)橛邢拊�。這些小元素通過它們交界上的一些點連接起來，這些點稱為節(jié)點。元素間的相互連接必須滿足交界面上節(jié)點拉移協(xié)調(diào)條件和節(jié)點的力平衡條件。元素中任一點的位移用節(jié)點位移表示，取節(jié)位移為廣義坐標。用彈性位能和動能公式建立元素的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣。在元素質(zhì)量矩陣、剛度矩陣的基礎(chǔ)上，根據(jù)交界面上節(jié)點位移協(xié)調(diào)條件和節(jié)點的平衡條件組裝成系統(tǒng)的總質(zhì)量矩陣和總剛度矩陣。于是，離散振動系統(tǒng)的彈性性質(zhì)可用總剛度及矩陣來描述，慣性性質(zhì)可用總質(zhì)量矩陣來描述，阻尼性質(zhì)可用阻尼矩陣來描述。由此，可以計算出振動系統(tǒng)的固有模態(tài)參數(shù)。
對箱體薄殼體結(jié)構(gòu)進行有限元離散化處理時，有曲殼元和平殼元兩大類。顯然，用曲殼元離散箱體薄殼體結(jié)構(gòu)更接近于實際情況，但當(dāng)采用曲殼元時，根據(jù)所引入的近似的不同就會導(dǎo)出許多不相同的公式系統(tǒng)，給分析計算帶來了一定的困難，且用曲殼元來計算所獲成功的例子很少，而用平面殼元來對箱體薄殼體結(jié)構(gòu)進行離散化處理時，只要有限元素尺寸大小合適，采用平面殼元近似所帶來的誤差與對連續(xù)系統(tǒng)離散化處理所帶來的誤差是同一階的，且分析計算大大的簡化了。綜上所述，我們采用平面殼元對Ⅱ子模型進行有限元離散化處理。
平面殼元一般產(chǎn)生彎曲和面內(nèi)兩種變形，根據(jù)二者不干涉的假定，我們在分析時可分別處理之。
平面殼元根據(jù)節(jié)點數(shù)的不同可分為線性（一次）、二次或更高階次的元；根據(jù)形狀的不同可分為三角形、矩陣或別的形狀等。在這里，我們根據(jù)三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)和特點及我們實際研究的需要，用線性薄殼矩形元對三環(huán)減速器箱體結(jié)構(gòu)進行有限元離散化處理并分析，如圖3-2示和圖3-9示。
二、三環(huán)減速器箱體有限元法推導(dǎo)
對三環(huán)減速器箱體進行有限元理論分析計算的具體步驟簡述如下：
1、用線薄殼矩形元把箱體離散化。
2、形成線薄殼矩形元的剛度矩陣[Kω]和5質(zhì)量矩陣[Mω]
線性薄殼矩形元，它同時承受“面內(nèi)”力和彎矩作用，如圖3-2所（a）、（b）所示。
首先考慮面內(nèi)力作用下的情況，如圖3-2（a）示，應(yīng)變狀態(tài)由各節(jié)點的位移u，v唯一地描述，節(jié)點力fωp為：
類似地，當(dāng)考慮彎矩作用下的情況時，如圖3-2（b）所示。應(yīng)變狀態(tài)曲Z方向的節(jié)點位移ω及兩個轉(zhuǎn)角θx、θy唯一地描述，產(chǎn)生如下類型的剛度矩陣：
圖3-2 線性薄殼距形元
在組合上述兩個剛度短陣之前，有兩點應(yīng)注意，根據(jù)線性薄殼元互不干涉的假定，首先，對于面內(nèi)力所規(guī)定的位移不影響彎曲變形，且反之亦然；其次，在兩種模式中，轉(zhuǎn)角θz都不作為參數(shù)進入變形定義式。但現(xiàn)在我們再考慮這一轉(zhuǎn)角，并令一假想力矩Mr與其對應(yīng)，則節(jié)點的位移為：
式中剛度矩陣為：
同樣方法可以導(dǎo)出質(zhì)量矩陣為：
以上清式的分析，全部是在局部坐標系（o，x，y，z）中進行的，再將它們合成整個系統(tǒng)的元素之前，應(yīng)變換到總體坐標系（o′，x′，y′，z′）中，設(shè)局部坐標系與總體坐標系間的轉(zhuǎn)換矩陣為[L]，則在總體坐標系中單元的剛度矩陣Kω′和質(zhì)量矩Mω′。
[Kω′]=[L]T[Kω][L] （3.21）
[Mω′]=[L]T[Mω][L]
這樣我們就可以得到單元在總體坐系中運動的方程式為：
[Mω′]x′ω+[Kω′]xω=0 （3.22）
然后進一步可以構(gòu)構(gòu)造出Ⅱ子模型系統(tǒng)的運動方程式：
[M]x+[K]x=0?（3.23）
式（3.23）與第三節(jié)中建立的Ⅱ子模型的數(shù)學(xué)模型式（3.13）是一樣的，建立了系統(tǒng)的運動方程式后，若再對Ⅱ子模型加上邊界約束條件即或進行有限元的計算了。
對式（3.22）我們用式（3.10）將其轉(zhuǎn)化到實模態(tài)坐標系里，就可求解Ⅱ子模型振動系統(tǒng)的固有模態(tài)參數(shù)。
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