第2章 完全平衡雙軸輸入三環(huán)減速器的動(dòng)力學(xué)研究
2.1 引言
三環(huán)減速器的研究起步較晚，產(chǎn)品研制的時(shí)間較短，盡管一些廠家和科研院所對(duì)其進(jìn)行過一些研究和試驗(yàn)，取得了一些成果，但是，生產(chǎn)中出現(xiàn)的諸如：振動(dòng)大、溫升高及轉(zhuǎn)臂軸承使用壽命短等諸多問題還未得到有效地解決，這嚴(yán)重影響了三環(huán)減速器的推廣使用。目前，三環(huán)減速器的受力分析、效率計(jì)算和振動(dòng)及發(fā)熱等問題的研究表明，采用雙軸輸入及對(duì)稱型三環(huán)傳動(dòng)形式可減少三環(huán)減速器的振動(dòng)，進(jìn)而提高三環(huán)減速器的使用壽命。受力分析是三環(huán)減速器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，針對(duì)目前三環(huán)減速器變形協(xié)調(diào)條件處理過程簡單化、影響計(jì)算精度的問題，本章改進(jìn)了考慮環(huán)板形狀和受力實(shí)際的變形協(xié)調(diào)條件，并對(duì)三環(huán)減速器的受力進(jìn)行了分析；依據(jù)連桿機(jī)構(gòu)平衡理論，提出了完全平衡雙軸輸入三環(huán)減速器設(shè)計(jì)的理論依據(jù)；曲柄軸和輸出軸的支撐軸承處的受力分析揭示出慣性力和慣性力矩、嚙合力對(duì)基本型和完全平衡型三環(huán)減速器振動(dòng)的影響；最后，本章還對(duì)完全平衡三環(huán)減速器的振動(dòng)問題進(jìn)行了研究，結(jié)果表明：完全平衡雙軸輸入式三環(huán)減速器有著優(yōu)越的機(jī)械性能。
2.2 基本型三環(huán)減速器的受力分析
2.2.1 結(jié)構(gòu)組成及基本原理
現(xiàn)有的理論研究、試驗(yàn)分析和產(chǎn)品的應(yīng)用都證明，對(duì)稱型三環(huán)減速器較偏置型有著優(yōu)越的機(jī)械性能，作為筆者設(shè)計(jì)的完全平衡雙軸輸入式三環(huán)減速器的對(duì)比樣機(jī)，本章選的是對(duì)稱型三環(huán)減速器。對(duì)稱型三環(huán)減速器的基本結(jié)構(gòu)如圖2-1所示，其輸入軸和支撐軸對(duì)稱布置在輸出軸的兩側(cè)。其輸入軸通過三片完全相同且互成120°的偏心套及相匹配的滾動(dòng)軸承與內(nèi)齒環(huán)板構(gòu)成三個(gè)平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)環(huán)板在輸入軸的驅(qū)動(dòng)下作軌跡為圓的平動(dòng)，傳動(dòng)環(huán)板上的內(nèi)齒圈與輸出軸上的外齒輪相嚙合，實(shí)現(xiàn)了輸出軸的低速輸出。每一片內(nèi)齒環(huán)板均為一個(gè)平行雙曲柄機(jī)構(gòu)，三塊環(huán)板同時(shí)驅(qū)動(dòng)輸出軸齒輪。理論上，任一瞬時(shí)各環(huán)板所受的載荷大小相等，由于不可避免的制造安裝誤差及傳動(dòng)過程中的彈性變形，使實(shí)際工作時(shí)各環(huán)板所受載荷并不相同，也就是各傳動(dòng)環(huán)板之間的載荷分配不夠均勻。這種現(xiàn)象嚴(yán)重影響三環(huán)減速器性能的發(fā)揮，并產(chǎn)生振動(dòng)和噪音，嚴(yán)重時(shí)，會(huì)導(dǎo)致異常工作情況甚至出現(xiàn)事故。現(xiàn)有三環(huán)減速器采用哪圖2-2所示三相平行雙曲柄機(jī)構(gòu)的目的主要是克服機(jī)構(gòu)死點(diǎn)和使慣性力平衡。
2.2.2 慣性力和慣性力矩
設(shè)內(nèi)齒環(huán)板的質(zhì)量為mB，轉(zhuǎn)臂偏心曲柄的質(zhì)量（含轉(zhuǎn)臂軸承）為mH，環(huán)板的質(zhì)心在O點(diǎn)，兩轉(zhuǎn)臂偏心軸的瞬時(shí)質(zhì)心分別在O1，O2點(diǎn)，轉(zhuǎn)臂轉(zhuǎn)速為nH,因內(nèi)齒環(huán)板作平動(dòng)，則其轉(zhuǎn)速nb為零，因而，質(zhì)心以nH轉(zhuǎn)速繞O1，O2轉(zhuǎn)動(dòng)，rb2為內(nèi)齒輪的基圓半徑，rb1為外齒輪的基圓半徑，α為壓力角，α′為嚙合角，e0為偏心距，m為內(nèi)或外齒輪的模數(shù)，Z1，Z2為內(nèi)嚙合的內(nèi)、外齒輪的齒數(shù)。每片內(nèi)齒環(huán)板的慣性力為：
Pi=mBωH2e0=[mπ2(Z2-Z1)m內(nèi)/1800]·(cosα/cosα′)·nH2 (2-1)
每個(gè)轉(zhuǎn)臂偏心軸（曲柄）的慣性力為：
PHi=mHωH2e0=[mπ2(Z2-Z1)mH/1800]·(cosα/cosα′)·nH2 (2-2)
這里，i=1，2，3
2.2.3 三環(huán)減速器的變形協(xié)調(diào)條件
三環(huán)減速機(jī)運(yùn)動(dòng)屬靜不定問題，用一般平面剛體力學(xué)方法無法完全求出機(jī)構(gòu)的作用力，影響到三環(huán)減速器設(shè)計(jì)和傳動(dòng)性能的改進(jìn)。為此需要考慮各構(gòu)件的變形，建立能充分反映三環(huán)減速器實(shí)際受力的變形協(xié)調(diào)條件作為補(bǔ)充方程。三環(huán)減速機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是雙曲柄連桿機(jī)構(gòu)，曲柄的旋轉(zhuǎn)半徑是偏心軸的偏心距，曲柄布置在由支撐軸承支承的偏心軸上，環(huán)板是雙曲柄機(jī)構(gòu)的連桿，傳動(dòng)過程中的主要變形有各構(gòu)件的接觸變形、軸的扭轉(zhuǎn)彎曲變形、環(huán)板的拉壓變形等等。根據(jù)位移變形分析可知，軸的彎曲變形和環(huán)板的拉壓變形是主要的變形形式。對(duì)于筆者設(shè)計(jì)的如圖2-3所示的環(huán)板，設(shè)A為輸入軸，B為輸出軸。為了計(jì)算上的方便，以前將其簡化為等截面桿處理。實(shí)際上，由于有效截面的最大面積是最小截面面積的5倍多，這種簡單地處理和實(shí)際有較大的差別。環(huán)板受拉壓變形時(shí)的有效拉壓面積的形狀如圖2-4所示（單位：mm）。
其實(shí)際的拉壓截面曲線由下面的方程分段給出（長度單位：mm）：
式中 A0=58.594； A1=0.36736； rk=42.5； r2=81.8； l=145
由方程繪出這際拉壓截面曲線圖可看出，工程上所用的實(shí)際環(huán)板的結(jié)構(gòu)形狀和方程較為復(fù)雜，對(duì)其拉壓變形量難以直接積分求解。但簡單地將有效截面的最大面積與最小截面面積相差5倍的環(huán)板的有效拉壓面積處理成等截面圓柱則誤差較大。由于嚙合力連續(xù)作用在曲線方程較為復(fù)雜的中間各位置點(diǎn)，若根據(jù)實(shí)際形狀（方程）加以積分求解在數(shù)學(xué)上又較為困難。對(duì)于此類問題，采用工程上實(shí)用的最小二乘法將實(shí)際曲線擬合成分段斜直線組成的近似函數(shù)，則很有效，這樣做，既可保證精度，又可用簡單的積分公式編程直接求解。
盡管轉(zhuǎn)臂軸承兩端的截面尺寸也不大，但由于軸承外表面與環(huán)板接觸的斷面積較大，且軸承的剛度較大，故此處產(chǎn)生的擠壓變形與軸的彎曲變形相比較小，可忽略。
由于環(huán)板的結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，對(duì)其中的1/4進(jìn)行研究就可以了。根據(jù)環(huán)板的實(shí)際，將圖形分成10段。每段的擬合方程均為：
yi=A0i＋A1ixi
每段方程中的系數(shù)如表2-1所示：
表2-1 方程的系數(shù)
| |
AB |
BC |
CD |
DE |
EF |
FG |
GH |
HI |
IJ |
JK |
| A0 |
16.09 |
15.43 |
11.96 |
-9.00 |
-251.97 |
58.86 |
365.5 |
130.3 |
68.95 |
34.36 |
| A1 |
0.43 |
0.56 |
0.86 |
1.65 |
5.19 |
0.36 |
-4.61 |
-1.13 |
-0.42 |
-0.083 |
設(shè)任一環(huán)板在x方向上分別受到FAix、FBix、嚙合力Fni，水平分力和慣性力Pi，水平分力的拉伸或壓縮作用；如圖2-5所示的輸入軸上任一環(huán)板兩環(huán)板支點(diǎn)Ai（Bi）在x方向的撓度△x為偏心軸頸上環(huán)板軸承x方向的作用力FA1x，F(xiàn)A2x，F(xiàn)A3x（FB1x，F(xiàn)B2x，F(xiàn)B3x）在Ai（Bi）點(diǎn)作用的撓度△xAi(Bi）的疊加。以S代表輸入軸支承軸承與相鄰環(huán)板之間的距離，d表示相鄰環(huán)板之間的距離。則考慮輸入軸的彎曲變形和環(huán)板拉壓變形三環(huán)減速機(jī)變形協(xié)調(diào)條件為：在外力作用下，任一環(huán)板處兩曲柄軸在x方向的撓度的差等于該環(huán)板在x方向的總變形。用公式2-3表示。
實(shí)際運(yùn)算中，采用下面的形式更為有效，求解也更為方便。（2-4）式的證明將在下一節(jié)的受力分析中給出證明。
式中 △xAij，△xPAij，△xnAij，——在一輸入軸上環(huán)板處Ai點(diǎn)的由于力FAjx，F(xiàn)PAjx，F(xiàn)nAjx作用的撓度（j=1，2，3）；這里，F(xiàn)Ajx=FPAjx+FnAjx。
△xBij, △xPBij，△xnBij——另一輸入軸上環(huán)板處Bi點(diǎn)的由于力FBjx，F(xiàn)PBjx，F(xiàn)nBjx作用的撓度(j=1，2，3)；這里FBjx=FPBjx+FnBjx。
△lik——對(duì)應(yīng)于AiBi的一塊環(huán)板在x方向由嚙合力水平分力作用下產(chǎn)生的拉壓變形（k=1，2）。
2.2.4 三環(huán)減速器的受力分析
1.轉(zhuǎn)臂軸承上的作用力分析 內(nèi)齒環(huán)板受力見圖2-6所示。
設(shè)兩轉(zhuǎn)臂偏心軸的瞬時(shí)幾何中心分別在A和B點(diǎn)，L0為內(nèi)齒環(huán)板中心與轉(zhuǎn)臂軸承中心之間的距離，F(xiàn)n為外齒輪作用給內(nèi)齒板的力（切于基圓，指向嚙合點(diǎn)）。轉(zhuǎn)臂軸承上Ai和Bi的作用力為FAi（分解為FAxi和FAyi）和FBi（分解為FBxi和FByi），由力（力矩）平衡方程，對(duì)于第i塊環(huán)板可列如下方程：
由于方程數(shù)為12個(gè)，而方程中的未知量的總數(shù)為15個(gè)，屬靜不定問題。需建立變形協(xié)調(diào)方程作為補(bǔ)充方程，方程才能得以求解。
對(duì)于作用在任意一塊環(huán)板的慣性力和嚙合力來說，可根據(jù)力的疊加原理，將慣性力和嚙合力分別作用在Ai和Bi的力求出后，再將其疊加便可得到環(huán)板點(diǎn)Ai和Bi的作用力。由力學(xué)原理和變形協(xié)調(diào)方程有：
僅考慮環(huán)板上作用的慣性力和重力。
第i塊環(huán)板可列如下方程：
∑FPxi=FPAxi+FPBxi+Picosφi=0 (2-12)
∑FPyi=FPAyi+FPByi+Pisinφi-mBg=0 (2-13)
∑MPzi=FPByi·L0-FPAyi·L0=0 (2-14)
變形協(xié)調(diào)條件方程（假設(shè)環(huán)板的變形之和不為零）：
|C1(FPAx1-FPBx1)+C2(FPAx2-FPBx2)+C3(FPAx3-FPBx3)|=|FPAx1C5-FPBx1C6| (2-15)
|C2(FPAx1-FPBx1)+C4(FPAx2-FPBx2)+C2(FPAx3-FPBx3)|=|FPAx2C5-FPBx2C6| (2-16)
|C3(FPAx1-FPBx1)+C2(FPAx2-FPBx2)+C1(FPAx3-FPBx3)|=|FPAx3C5-FPBx3C6| (2-17)
由于環(huán)板的慣性力作用在環(huán)板的中心，而環(huán)板的結(jié)構(gòu)又是對(duì)稱的，故有C5=C6，代入上面方程并求解有：
由于上式和C5=C6知，慣性力作用在環(huán)板上的拉壓變形之和為零，方程（2-4）式得證。
僅考慮環(huán)板上作用的嚙合力。
∑Fnxi=FnAxi+FnBxi-Fni·sin(φi-α′)=0 (2-18)
∑Fnyi=FnAyi+FnByi-Fni·cos(φi-α′)=0 (2-19)
∑Fnzi=FnAyi·L0-FnByi·L0-Fnirb=0 (2-20)
變形協(xié)調(diào)條件方程：
|C1(FnAx1-FnBx1)+C2(FnAx2-FnBx2)+C3(FnAx3-FnBx3)|=|FnAx1C5-FnBx1C6| (2-21)
|C2(FnAx1-FnBx1)+C4(FnAx2-FnBx2)+C2(FnAx3-FnBx3)|=|FnAx2C5-FnBx2C6| (2-22)
|C3(FnAx1-FnBx1)+C2(FnAx2-FnBx2)+C1(FnAx3-FnBx3)|=|FnAx3C5-FnBx3C6| (2-23)
式中
式中 E——環(huán)板材料的彈性模量，本文取為2.06×1011N/m2；
I——軸的截面對(duì)中性軸的慣矩，
。
xF=l-rcosφi
將FnBxi=-FnAxi+Fnxi代入式（2-21）～（2-23）中，求解得：
FnAX1=m11Fn1x+m12Fn2x+m13Fn3x
FnAX2=m21Fn1x+m22Fn2x+m23Fn3x
FnAX3=m31Fn1x+m32Fn2x+m33Fn3x
式中
由此可得到各個(gè)環(huán)板轉(zhuǎn)臂軸承所受的力。
將以上關(guān)系代入支撐軸方程（2-9），并整理有：
a11Fn1+a12Fn2+a13Fn3=0 (2-24)
式中
代入輸入軸方程（2-11），并整理有：
a31Fn1+a32Fn2+a33Fn3=Tr/e0 (2-25)
式中
求解曲柄軸（2-24）、（2-25）和輸出軸（2-10）組成的關(guān)于嚙合力的方程組，可解得：
由上式可看出，任意時(shí)刻各環(huán)板上作用的嚙合力是不相等的，且是與轉(zhuǎn)角、環(huán)板和曲柄軸結(jié)構(gòu)尺寸、壓力角以及偏心尺寸有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)，假設(shè)各嚙合力相等或者是成一簡單的函數(shù)關(guān)系都是與實(shí)際嚴(yán)格不符的。若需要用簡潔的函數(shù)關(guān)系加以描述，應(yīng)首先利用上式求出輸出軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)的數(shù)個(gè)嚙合力的表達(dá)式，這里不作詳細(xì)的討論。
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