油膜浮動均載機構(gòu)的幾何關(guān)系如圖3-2和圖3-3所示
下面以圖3-2和圖3-3所示的內(nèi)層油膜浮動為例進行推導(dǎo)。
h=C(1+εcosθ)
這里，U=ωr。
盡管這種簡化處理與實際不完全相符，但這樣做有兩個好處：一是如不進行簡化，就會帶來極大的復(fù)雜化；二是使設(shè)計更為安全。
3.6方程的求解
對于普遍形式的Reynolds方程，僅具有特殊間隙形狀的問題才能求得解析解。而對于復(fù)雜的幾何形狀或工況條件下的潤滑問題，根本無法用解析方法，求解，電算技術(shù)使得數(shù)值解法成為潤滑問題求解的有效途徑。本文應(yīng)用對于線性橢圓型問題最優(yōu)化的數(shù)值方法一多重網(wǎng)格方法求解Reynolds方程。
3.6.1多重網(wǎng)格方法
多重網(wǎng)格方法的思想早在30年代就有人提出，但真正廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)問題是在1977年Brandt教授發(fā)表他的開創(chuàng)性文章“邊值問題多重網(wǎng)格適應(yīng)解之后才開始的。由于多重網(wǎng)格方法求解細網(wǎng)格層上離散方程的總計算量與最細網(wǎng)格層節(jié)點數(shù)成正比，即W=O（Nl），這一指標從根本上克服了經(jīng)典迭代法解離散方程的工作量一般為W=O（Nl2～W=O(Nl3)這個缺點，且多重網(wǎng)格方法的斂速與h無關(guān)這一特性又從根本上克服了經(jīng)典迭代法的斂速與h有關(guān)，越細所需迭代步越多，Ωl越細所需迭代步越多，斂速越慢這個缺點。如今，多重網(wǎng)格方法已被廣泛應(yīng)用于各門學(xué)科和各種工程技術(shù)問題中，并取得了許多研究成果。文獻將多重網(wǎng)格方法用于求解動載荷滑動軸承的潤滑問題，并取得了成功。用多重網(wǎng)格方法求解潤滑方程，在滿足精度的條件下，較Gauss-Seidel等經(jīng)典方法收斂速度快，節(jié)省計算機時間，而且求解可靠，是一種很有應(yīng)用前景的求解大型代數(shù)方程組的數(shù)值迭代法。
考慮線性二階橢圓邊值問題（以兩層網(wǎng)格為例說明）
Lu=f （Ω） （3-30）
Ω是一個給定的連續(xù)域，L是Ω上的線性橢圓微分算子矩陣，u為要求方程Lu=f的解，右端項f為已知的量。用上標h和H別表示細網(wǎng)格和粗網(wǎng)格，將上式在連續(xù)域Ω上離散，其在細網(wǎng)格和粗網(wǎng)格離散的差分方程分別為
Lhuh=fh （Ωh） （3-31）
設(shè)差分方程的粗確解為uh，差分方程的迭代解為
，以?h為初值，在細網(wǎng)格上對Lhuh=fh做v1次迭代，得近似值和殘差rh
rh=fh-Lh （3-33）
定義：
rh=Lhvh （3-34）
有：
?fh=Lh+Lhvh （3-35）
這樣：
uh=+vh （3-36）
修正項vh不是在細網(wǎng)格上計算的，而是在粗網(wǎng)格上根據(jù)下式求得的。
LHvH=IhHrh （3-37）
這里，IhH是從細網(wǎng)格到粗網(wǎng)格的限制算子，一般選用全權(quán)限制算子。
上述過程重復(fù)進行，直至在最粗網(wǎng)格上得到滿足精度要求的精確解。
圖3-4所示為三層網(wǎng)格上的一個循環(huán)的具體計算步驟。
圖3-5所示為l個網(wǎng)格層上利用V循環(huán)求解離散方程（3-31）式計算框圖。
3.6.2 差分方程
由于將有量綱方程化為無是綱形式后，方程形式主得簡單，便于計算，而獲得的結(jié)果又便于推廣到與此軸承相似的各類尺寸的軸承，故，有必要將雷諾方程無量綱化。
為了求解雷諾方程，將油膜壓力區(qū)展成一矩形域，用無量綱形式的
和油膜角θ分別表示矩形域的寬和長。并將該求解區(qū)域離散成若干個相等的矩形網(wǎng)格�？紤]到油膜壓力在軸的寬度方向?qū)ΨQ分布，即：方程的解關(guān)于=0對稱，因而，油膜壓力區(qū)只需計算一半即可。
在［0,l］區(qū)間n等份，在［0,2π］區(qū)間m等份，即可構(gòu)造出方程（3-40）的（i，j）離散差分方程：
Lk
=fk (3-41)
其邊界條件為： (i,n)=0,(i+m,j)=(i,j)
該方程滿足多重網(wǎng)格方法的條件，可用多重網(wǎng)格方法求解。
3.6.3 油膜承載能力的計算
若液體壓力以解析表達式給出，油膜浮動的承載能力可由3-10和3-11式直接積分求得。但由于本節(jié)方法求出的壓力是離散值，其承載能力需用數(shù)值積分求解。本文通過采用Simpson 積分公式的方法，分別沿周向和軸向迭加求值。
沿周向的一般情形的復(fù)合Simpson積分公式為：
3.6.4 計算結(jié)果的討論
根據(jù)上面的計算公式，筆者編寫了油膜壓力分布和油膜浮動時的承載能力FORTRAN計算程序。計算中所采用的是V循環(huán)，網(wǎng)格層數(shù)為6，最粗網(wǎng)格數(shù)為：12×2，最細網(wǎng)格數(shù)為：64×384。計算的部分結(jié)果如圖3-6和圖3-7所示。
由圖3-6可看出，相同浮動套長度時，圓周上的壓力隨著偏心率的增大而增大，且在壓力最大值時的變化幅度較大。另外，計算還證明：在偏心率相同的條件下，圓周上的壓力隨著浮動套長度增大而增大。
由圖3-7可看出，油膜浮動時的壓力沿軸向近似成拋物線形狀，但在不同的角度下其值則是不同的。
表3-1 不同的工況下軸膜浮動的承載能力
| 偏心率 |
ε1=0.7 |
ε2=0.8 |
ε3=0.9 |
| 油膜承載力P（N） |
3768 |
8236 |
34486 |
筆者的結(jié)果表明，在偏心套長度確定的條件下，油膜浮動時油膜的承載力主要取決于偏心率，筆者設(shè)計的油膜浮動均載裝置便是以此為基礎(chǔ)。
3.7 本章小結(jié)
本章在對兩級三環(huán)減速器的主要制造安裝誤差進行系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，依據(jù)流體動力潤滑理論研究了兩級三環(huán)減速器油膜浮動均載機理，建立了偏心轉(zhuǎn)動和動載荷工況下兩級三環(huán)減速器油膜浮動時的流體動力潤滑方程，采用多重網(wǎng)格方法和Simpson 積分公式對樣機油膜浮動的承載能力進行了計算。均載的目的就是要減少或消除制造安裝誤差的影響，為此，本章首先對兩級三環(huán)減速器的主要制造誤差進行了系統(tǒng)分析，計算了需補償?shù)奈灰屏�。依�?jù)流體動力潤滑理論對兩級三環(huán)減速器應(yīng)用油膜浮動的可行性和三環(huán)減速器油膜浮動的均載機理進行了研究，結(jié)果表明：兩級三環(huán)減速器應(yīng)用油膜浮動進行均載是切實可行的。
依據(jù)流體動力潤滑理論，首次建立了偏心轉(zhuǎn)動及動載工況下三環(huán)減速器油膜浮動的流體動力潤滑方程，為其動力學(xué)研究奠定了基礎(chǔ)。
采用多重網(wǎng)格方法和Simpson積分公式對兩級三環(huán)減速器油膜浮動均載時的承載能力進行了計算，計算結(jié)果為油膜浮動均載機構(gòu)參數(shù)設(shè)計奠定了基礎(chǔ)。
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