2 共軛曲面的數(shù)字化方法研究
2.1 引言
共軛曲面的數(shù)字化方法的特點，就在于拋開傳統(tǒng)共軛曲面的理論的繁鎖推導與變換，僅借用共軛條件的構(gòu)架關(guān)系，利用數(shù)值方法，借助于計算機即可解決共軛曲面理論中的各種問題；且問題的維數(shù)降低，算法簡單，既能解數(shù)字母曲面問題，又能處理解析母曲面的求解問題，實現(xiàn)了真正意義上的共軛曲面的數(shù)字化方法分析，即從數(shù)字化到數(shù)字化的分析求解過程。
傳統(tǒng)的共軛曲面求解方法是基于解析表達式描述的已知曲面，通過人工推導，得到共軛曲面的解析方程或數(shù)據(jù)[78-83]。當已知曲面由一系列離散數(shù)據(jù)點來描述時，這種方法就無法適用，也就是說它的適用范圍有很大局限性。另一方面，因為共軛曲面求解涉及繁瑣的公式推導和大量的數(shù)學計算，對一般的工程技術(shù)人員來說，掌握這一套理論和計算方法有一定難度，而且人工計算，對一般的工程技術(shù)人員來說，掌據(jù)這一套理論和計算方法有一定難度，而且人工計算很容易出錯，所以共軛求解的計算機化是有必要的。而在利用計算機求解實現(xiàn)方面，由于解析方程式及其推導計算的多樣化，傳統(tǒng)的共軛求解方法也很難建立通用性較強的計算機算法。
本章旨在突破這一局限，一方面使共軛曲面求解在已知曲面為數(shù)字化曲面的情況下依然能夠應用，即拓寬共軛曲面的適用范圍；另一方面，增加共軛曲面求解的自動化程度，使得從得到已知曲面數(shù)據(jù)點和運動參數(shù)到求解出共軛曲面這一過程都可以由計算機自動完成，用戶只用改變輸入?yún)?shù)就可以方便地得到各種共軛曲面。
2.2 數(shù)字化共軛曲面的相關(guān)性與求解原理
無論是數(shù)字曲面，還是解析曲面，在對其進行共軛理論的研究中，共軛關(guān)系與共軛條件是研究的基礎(chǔ)和重要依據(jù)。
如圖2-1Σ1、Σ2為兩共軛的任意曲面，其中Σ1設(shè)為母曲前，S1（o1x1y1z1）、S2（o2x2y2z2）為兩個分別與Σ1、Σ2相固連的坐標系，r1(1)、r2(2)分別表示Σ1、Σ2上一點的位置矢，N1(1)、N2(2)分別表示曲向Σ1、Σ2上r1(1)、r2(2)兩點處的單位法矢。上述符號中上標表示所定義的坐標，下標表示所屬的曲面。
設(shè)母曲面Σ1在坐標系S1中可表示為以u、v為參數(shù)的方程
r1(1)=r1(1)(u、v) (2-1)
則曲面Σ1按以t為參數(shù)的規(guī)律變化，在空間形成一曲面族，該曲面族的方程則為
{Σ1}：r1(1)=r1(1)(u,v,t) (2-2)
u,v是母曲面的幾何參數(shù)；t是母曲面的變化參數(shù)，當母面無形狀變化時，t則為運動參數(shù)。本文中的t即為曲面間的運動參數(shù)。
若存在一曲面Σ2與曲面族{Σ1}中任一曲面有Σ1都有一條公共線L或公共點M（也稱接觸線或接觸點），在公共線每一個點M上Σ2與Σ1都有公切面和公法線，曲面Σ2即為曲面族{Σ1}的包絡(luò)，面曲Σ2與Σ1互為共軛曲面，這種接觸現(xiàn)象則稱為共軛接觸狀態(tài)或共軛傳動。
曲面Σ1與Σ2為欲實現(xiàn)共軛接觸運動，兩曲面必須滿足以下基本條件：
（1）曲面Σ1、Σ2上相對應的接觸點（共軛點）M1、M2必須重合為一點（如圖2-1），即
r2=r1-r0 (2-3)
對于具體實際問題，式（2-3）則等價于r1(2)=r2(2)(u，v，t)。
(2)兩曲面在接觸相切，即在接觸處有公法線，且兩曲面應在其空域一側(cè)接觸，即
N1=-N2 (2-4)
（3）兩曲面在接觸處的相對速度v12應位于該處的公切面內(nèi)，以保證連續(xù)接觸，而不致發(fā)生嵌入或分離狀態(tài)，即
N·v12=0
或 (r,u×r,v)·r,t=0 (2-5)
通常稱（2-5）式為共軛條年（或包絡(luò)條件）。
由（2-3）、（2-5）兩式聯(lián)立求解，即可求得母曲面Σ1的共軛曲為Σ2。亦即由共軛條件（2-5）求得運動參數(shù)t與母曲面的幾何參數(shù)（u,v）之間的關(guān)系：t=t(u,v),然后代入（2-3）式，即可得到共軛曲面Σ2：r2(2)=r2(2)(u，v)。
當然，對于母曲面為數(shù)字曲面，實現(xiàn)算法相當復雜，不過，不論是數(shù)字曲面，還是解析曲面，其最終得到的共軛曲面均為離散的數(shù)字曲面。
2.2.2 數(shù)字化共軛曲面概念與求解原理
基于解析曲面的共軛曲面理論，無疑是共軛曲面求解和共軛接觸分析的精確有效的工具。但是，這套理論存在致命的缺陷，一是其代數(shù)變和幾何變換繁雜，計算工作量大，使得計算機仿真計算和動態(tài)優(yōu)化設(shè)計有相當難度；二是對于非解析形式的離散化數(shù)字曲面，傳統(tǒng)的基于解析理論的共軛曲面原理與分析方法則無能為力�；诖耍岢龉曹椙娴臄�(shù)字化方法，以解決現(xiàn)代數(shù)字設(shè)計、數(shù)字加工和各種數(shù)字反求工程中的問題。
基于數(shù)字曲面的求解理論與方法是共軛曲面的數(shù)字化方法的核心內(nèi)容，它的基本思想是從數(shù)字化離散曲面出發(fā)，應用數(shù)值分析手段將數(shù)字曲面分別沿不同的方向u、v構(gòu)造一個整體上具有二階連續(xù)導數(shù)的三次樣條插值函數(shù)，將具有雙幾何參數(shù)曲面上一點幾何性質(zhì)的討論退化為關(guān)于具有單幾何參數(shù)的兩條曲線交點幾何性質(zhì)的研究，并按照曲面運動過程中的共軛關(guān)系和條件，建立求極小值的數(shù)字規(guī)劃模型，應用優(yōu)化算法，即可求到與數(shù)字母曲面Σ1相共軛的數(shù)字曲面Σ2。
2.3 共軛參數(shù)的數(shù)字化求解
數(shù)字化曲面共軛求解中有兩個關(guān)鍵量，即共軛參數(shù)法向量N和切向量v12，本節(jié)將圍繞這兩個鍵量展開討論。
數(shù)字化曲面上的點是離散的，我們可以根據(jù)運動參數(shù)分別考察曲面上每一個點運動特性，求出每一個點在運動過程中對應的共軛點的位置（如果有的話），那么當所有的共軛點都求出來后，也就自然而然地求解出了已知數(shù)字化曲面對應的共軛曲面，這就是數(shù)字化共軛曲面求解的整體思路。
但在共軛曲在求解過程中，孤立的點及其動動并不能提供求解所需的全部條件，例如曲面在該點的法向量N。在考察曲面上單個點的運動特性之前，有必要對數(shù)字曲面進行曲面插值，以期間接得到一個連續(xù)的曲面，從而獲取習已知曲面的某些整體特性。針對法向量N的求解，本章提出了曲面插直的降維插值法，它能在滿足共軛求解功能要求（即提供已知曲面在一點的法向量N）的同時，大大減少插值的計算量。
除了法向量N外，共軛曲面求解中的另一個共軛參數(shù)是曲面上一點的運動軌跡的切向量v12。本文提出根據(jù)三維數(shù)組與曲面族的對應關(guān)系，提出切向量v12的求解方法。
2.3.1 法向量N的求解
曲面插值面臨的主要問題是計算量大，下面提出基于已知數(shù)字曲面求其共軛曲面的降維插值方法，用曲線插值替代曲面插值。
降維插直法就是從已知的數(shù)字化離散曲面出發(fā)，將數(shù)字曲面分別沿下同的方向u,v構(gòu)造一個整體上具有二階連續(xù)導數(shù)的三次樣條插直曲線。兩條交叉的插直內(nèi)線在交叉點的切向量的向量積，就是數(shù)字化曲面在這一點的法向量N，如圖2-25所示。根據(jù)三次樣條插值的唯一性，由曲線插值所求得的法向量是相等的。然后按照曲面相對運動過程的共軛條件，建立求解極小值數(shù)學規(guī)劃模型，應用優(yōu)化算法，即可求得與已知數(shù)字曲面Σ1、相共軛的數(shù)字化曲面Σ2。
這樣，就將具有雙幾何參曲面上一點幾何性質(zhì)的討論轉(zhuǎn)化為關(guān)于具有單幾何參數(shù)的兩條曲線交點幾何性質(zhì)的研究，從而降低了計算的復雜程度。
以u方向為例介紹三次樣條插值。
根據(jù)u方向的n+1個數(shù)據(jù)點（ui，fi），（i=0，1，…,n）構(gòu)造的三次樣條插值函數(shù)S（x）滿足下列條件：
（1）S（ui)=fi,i=0,1,…,n；
（2）在每一個小區(qū)間[ui,ui+1]上是三次多項式；
（3）S(ui)∈C2[a,b],[a,b]為整個插值區(qū)間，即插值函數(shù)整個區(qū)間有連續(xù)的二階導數(shù)。
插值多項式可用線性方程組表示：
(1-λi)Mi-1+2Mi+λiMi+1=6f[ui-1,ui,ui=1],i=1,2,…,n-1。 （2-6）
式中，
表示S（x）的二階導數(shù)在ui的值，
表示二階差商。這是關(guān)于
的線性議程組，共有n-1個方程，比未知參數(shù)個數(shù)n+1少2，一般可用附加邊界條件給出所需的二個方程，這樣就能唯一地確定。
根據(jù)給定的已知曲面上的節(jié)點坐標值，分別沿u=ui，v=vj構(gòu)造關(guān)于幾何參數(shù)u,v的三次樣條插函數(shù)：
，則曲面在點(ui,vj)處的法向量為
這樣，用降維插值法就可以求出曲面在任一節(jié)點（ui,vj）處的法向量。再利用兩曲面的運動關(guān)系，通過坐標變換，就可以求出在運動過程中對應各個t的曲面有（ui,vj）的法向量。
2.3.2 相對運動速度v12的求解
隨著運動數(shù)t的變化，已知曲面Σ1在未知曲面Σ2的坐標系S2中的運動軌跡形成曲面族{Σ1}，將{Σ1}通過坐標變換，即可得到Σ1在S2中對應于每一個t的位置坐標，把這些位置記錄下來就得到了Σ1在S2中運動而形成的曲面族。
若已知曲面Σ1由一系列離散的坐標值表示，則規(guī)則化后的坐標值系列可以寫成二維數(shù)組成的形式，二維數(shù)組中的各維分別對應u,v參變量或方向，二維數(shù)組中的各元素分別對應曲面上節(jié)點的坐標；那么，曲面Σ1在坐標S2中運動形成的曲面族{Σ1}可以用三維數(shù)組表示，三維數(shù)組的各維分別對應u,v,t參變量或方向，并且曲面族中的各點與此三維數(shù)組的各個元素在空間結(jié)構(gòu)上是——對應的，如圖2-3所示。
設(shè)此三維數(shù)組為M，則取t≡tk時，M退化為一個二維數(shù)組，它表示曲面族{Σ1}中對應t=tk的曲面；如果考察已知曲面上一點（ui，vj）,即取u≡ui,v≡vj，則M退化為一維數(shù)組，它表示曲面一點（ui，vj）在坐標系S2中對應于運動參數(shù)t的一系列位置向量，也即點（ui，vj）在坐標系S2中的離散運動軌跡。
這樣，取得點（ui，vj）的離散運動軌跡后，利用三次樣條曲線插直，就可以得到以t為自變量的連續(xù)函數(shù)Ct(t)，它表示點的連續(xù)運動軌跡；然后求取Ct(t)對運動參數(shù)t的導函數(shù)，就可以得出點（ui,vj）運動軌跡的切向量函數(shù)。
那么t=tk時點（ui,vj）運動軌跡的切向量為
這也就是曲面Σ1上一點(ui，vj)在t=tk時相對于曲面Σ2的運動速度。
2.4 數(shù)字化共軛曲面求解模型與算法
2.4.1 數(shù)學模型
根據(jù)以上論述的曲面共軛條件和關(guān)鍵量的求解方法，構(gòu)造如下的共軛曲面求解數(shù)學模型
式中
r1(2)(u,v,t)——已知曲面Σ1在坐標系S2中形成的曲面族；
N(u,v,t)——在坐標系S2中，對應運動參數(shù)t的已知曲面Σ1在點（u,v）的法向量；
v12(u,v,t)——在坐標系S2中，對應運動參數(shù)t的Σ1上點（u,v）的相對運動速度。
2.4.2 算法實現(xiàn)
（1）給定ui值；
（2）給定vj值；
（3）用前述方法求出曲面Σ1在點(ui，vj)的法向量N(ui，vj)；
（4）用坐標變換求出N(ui，vj)對應整個t序列的在坐標系S2中的一系列值N(ui，vj,t)；
（5）用前面介紹的方法求出點（ui，vj）在坐標系S2中，對應整個t序列的相對運動速度v12(ui，vj,t)；
（6）取φ(ui,vj,t)=N(ui,vj,t)·v12(ui,vj,t),得到對應于整個t序列的一系列值，在此基礎(chǔ)上，用插值的方法得到一個以t為自變量的連續(xù)函數(shù)φ(t),然后求出使φ(t)=0時t的值tk；
（7）將u=ui,v=vj,t=tk代入（2-9）中第一式，就得到已知曲西Σ1上點（ui,vj）所對應的共軛曲面Σ2上的共軛點r2(ui,vj)，將這個共軛點的坐標值保存；
（8）vj←vj+△v,轉(zhuǎn)至（2），直到v方向計算完畢；
（9）ui←ui+△u,轉(zhuǎn)至（1），直到u方向計算完畢。
通過上述計算，就得到了對應于已知曲面Σ1上節(jié)點的一系列共軛點，所有這些離散的共軛點就表達了所要求的共軛曲面Σ2。
在計算中，如果點（ui,vj）在整個t的運動過程中都沒有使φ(t)=0,則可判斷此點沒有參與共軛，在共軛曲面的求解中剔除該點；如果點（ui,vj）d在整個t的運動過程中超過一次使φ(t)=0，則可判斷此點在整個運動過程中不只一次參與了共軛。這種已知點和所求共軛點“一對多”的映射會導致程序判斷的紊亂，這種情況可用使t自動分段和遞歸調(diào)用共軛求解函數(shù)的方法來處理，直至在每一個t的分段中，該點（ui,vj）參與共軛的次數(shù)不超過一次。
2.5 小結(jié)
本章提出了數(shù)字化共軛曲面的概念與求解原理，介紹了數(shù)值化共軛求解中兩曲面的相關(guān)性質(zhì)即共軛關(guān)系與共軛條件，解決了數(shù)字化曲面共軛求解中，共軛參數(shù)法向量N和切向量v12的數(shù)字化求解問題，建立了數(shù)字化共軛求解模型和算法。
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